четвер, 19 березня 2015 р.

40 задач на властивості чисел.

40 задач  про числа.
1. Установіть відповідність між цілими виразами та їхніми   цілими  дільниками.

№1
А
Б
В
Г
Д
Е
1






2






3






4






5










1. (m + 1)2 – (m – 1)2    ділиться на…   А)  12m;
2. (2m + 3)2 – (2m – 1 )2 ділиться на …. Б) 8m.
3. (3m + 2)2 – (3k - 2)2 ділиться на ….    В)24m;
4. (3m + 1)2 – (3m- 1 )2 ділиться на …   Г)  4m.
5. (4m +3)2 – (4m-3)2 ділиться на   ….     Д)48m;

                                                                                              Д)36m.
2. Установіть відповідність між виразом  та його повним  квадратом.
№2
А
Б
В
Г
Д
Е
1






2






3





4






5












1.(n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 576;   А) (n2-17)2 
2. (n- 2)(n + 1)n(n - 1) + 1;                Б) (n2-10)2
3. (n - 3)(n + 1)(n + 3)(n - 1) + 16;       В) (n2-25)2
4. (n - 4)(n + 2)(n + 4)(n - 2) + 36;     Г) (n2-n-1)2
5. (n - 5)(n + 3)(n + 5)(n - 3) + 64;     Д) (n2-25)2
                                                             Е) (n2-6) 2
Задачі цієї частини  обрані за числовою тематикою,  тому кожна з них потребує знань з теорії чисел.  Розв'язування цих задач вимагає наполегливої розумової праці.

Розв’язування числових задач.
1
2
3
4
5
6
n

n2
n3
n4
n4k
nk
...1
1
1
1
1
1
2
4
8
6
6
-
3
9
7
1
1
-
4
6
4
6
6
-
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
7
9
3
1
1
-
8
4
2
6
6
-
9
1
9
1
1
-
0
0
0
0
0
0
 У цій таблиці наведено останні цифри натуральних чисел, квадратів, кубів, четвертих степенів і так далі.
Використовуємо цю таблицю для розв’язування задач.
Задача 1. Знайти остачу від ділення квадрата цілого числа на 5.
Розв’язання:
Квадрати натуральних чисел закінчуються цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9.(колонка 2) то при їх діленні  на 5 одержуємо 0, 1 або 4.
Задача 2. Чи може число виду 1k+5m+6n, де k, m, n – довільні натуральні числа, бути довільним квадратом.
Розв’язання: Кожний доданок закінчується відповідно цифрами: 1, 5 і 6 (колонка 6) і тому їх сума закінчується цифрою 2, а таке число не може бути точним квадратом.
Задача 3. Довести, що число 5353- 3333 ділиться на 10.
Розв’язання: При виділенні показників степенів 53 і 33 на 4 в остачі одержуємо в кожному випадку 1. Отже, остання цифра числа 5553 така сама, як числа 3333, бо534*13+1 і 334*8+1, отже, остання цифра різниці 0, і ця різниця ділиться на 10.
 Задача 4. Які остачі можуть мати точні квадрати при діленні на 3?
Відповідь: 0; 1; (3k±1)2=9k2±6k+1.    (3k)2=9k.
Задача 5. Які остачі не можуть мати точні квадрати при діленні на 4?
(2k)2=4k2
(2k+1)2=4k2+4k+1
Відповідь: 2; 3.
Задача 6. Які остачі не можуть мати точні квадрати при діленні на 5?
Відповідь:2 і 3. (5k)2=25k2+0
(5k±1)2=25k2±10k+1
(5k±2)2=25k2±20k+4
Задача 7. 

Довести, що при будь-якому цілому n число n(n-3)(n2-3n+14) ділиться на 24?

Доведення:
n (n-3)(n2-n-2n+2+12)=n(n-3)(n(n-1)-2(n-1)+12=n(n-3)(n-1)(n-2)+12n(n-3). Це число ділиться на 24, бо:
1.    n(n-1)(n-2)(n-3) ділиться на 3і 8 Þділиться на 24.
2.    12n(n-3) ділиться на 12 і 2, бо n(n-3)- просте числоÞділиться на 24.
 Мозковий штурм.

Кожний сірник має довжину 5 см. Як із 15 сірників скласти метр( викласти слово “метр”).

Задачі для самостійного опрацювання.

1. Знайдіть непарне чотиризначне число, дві середні цифри котрого утворюють число, що в 5 разів більше числа тисяч і в 3 рази більше числа одиниць.   
2. Знайдіть всі трицифрові числа,  які при закреслюванні середньої цифри зменшуються в 7 разів.
3. Знайдіть всі трицифрові числа,  які при закреслюванні середньої цифри зменшуються в  в 9 разів.   
4. Ціну на товар спочатку зменшили на 0,13, а потім ще на 0,14. Чи стала б вона меншою, якби її одразу зменшили на 0,27?
5. При діленні деякого числа на 13 і на 15 отримали однакові частки, але в першому випадку отримали остачу 8, а в другому - остачі не було. Знайдіть це число.
6. Чи вірно, що  сума дванадцяти послідовних натуральних чисел не ділиться
на 12?
7. В кімнаті стоять табуретки та стільці. У кожної табуретки 3 ніжки, у кожного стільця - 4 ніжки. Коли на всіх табуретках та стільцях сидять люди, в кімнаті всього 39 ніг. Скільки табуреток і скільки стільців в кімнаті ?
8. Знайдіть два таких числа, що їх сума в 3 рази більша за їх різницю і в 2 рази менша за їх добуток.
9. Знайти частку двох чисел, якщо вона в 2 рази менша за одне з них і в 6 разів більша за друге.
10. В бочці не менше 10 л бензину. Як відлити з неї 6 л за допомогою дев'ятилітроврго відра та п'ятилітрового бідона?
11. На базар принесли корзину яблук для продажу. Першому покупцеві продали половину всіх яблук і ще пів-яблука, другому - половину залишку і ще пів-яблука, і т. д. Останньому, шостому покупцеві, було продано також половину залишку і ще пів-ябпука, причому виявилось, що були продані всі яблука. Скільки яблук принесли на продаж?
12. Чотири товариші купили м'яч. Перший заплатив половину суми,  що заплатили інші, другий - третину суми, що заплатили інші, третій - чверть суми, що заплатили інші, а четвертий заплатив 130 грн. Скільки коштує м'яч? 13.  Із восьмилітрового відра, наповненого молоком, потрібно відлити 4 л за допомогою порожніх трилітрового та п'ятилітрового біідонів.
14. В магазин привезли 25 ящиків з яблуками трьох сортів, причому в кожному ящику містились яблука одного сорту. Чи можна знайти 9 ящиків з яблуками одного сорту?
15. Скільки існує чотиризначних чисел, які діляться на 45, а дві середні цифри у них 97?
16. До числа 15 припишіть зліва та справа по одній цифрі так, щоб отримане число ділилось на 15.
17. Знайти найменше натуральне число, що ділиться на 36, в запису якого зустрічаються   всі 10 цифр.

18. Скількома нулями закінчується добуток   1∙2∙3∙4∙ ...∙98∙99∙100.
19. Якби    учень купив 8 зошитів, то у нього залишилось би 30 коп., а на 12 - зошитів   у нього не вистачить 1,5 грн. Скільки грошей було у учня?
20. На складі є цвяхи в-ящиках по 16 кг, 17 кг, 40 кг. Чи може працівник складу відпустити 100 кг цвяхів, не відкриваючи ящики?
21. В кімнаті знаходиться 14 канцелярських столів з однією, двома та трьома шухлядами. Всього в столах 25 шухляд. Столів з однією шухлядою стільки ж, скільки з двома та трьома разом. Скільки столів з трьома шухлядами разом?
22. Приїхало 100 туристів. Із них 10 чоловік не знали ні німецької мови, ні французької, 75 чоловік знали німецьку мову, а 83 - французську. Скільки туристів знали французську   і німецьку мову?
23. Три посудини наповнені водою (не доверху). В одній посудині 11 л води, в другій 7 л, в третій 6 л. В кожну посудину можна долити стільки води, скільки там уже є. Як розділити воду так, щоб у всіх трьох посудинах її стало порівну?
24. В підвалі знаходяться 7 порожніх бочок, 7 бочок, наповнених наполовину і 7 повних бочок. Як розподілити ці бочки між трьома вантажними
автомобілями так, щоб на кожному було 7 бочок і на всіх машинах був однаковий вантаж ?
25. Розв'яжіть арифметичний ребус. Однаковим буквам відповідають однакові цифри,   різним - різні. У -Р = А:В = Н∙Е = Н + И = Е
26. 4 коти - Вася, Пушок, Базіліо та Леопольд - полювали на мишей. Пушок з Леопольдом піймали стільки ж мишей, скільки Базіліо разом з Васею. Вася піймав мишей більше, ніж Базіліо, але Вася з Леопольдом піймали мишей менше, ніж Пушок з Базіліо. Скільки мишей піймав кожний кіт, якщо Пушок піймав 3 миші ?
27. Із однієї форми отримують 6 деталей. Відходи із 6 форм дають можливість виготовити з них ще одну форму. Скільки деталей можна виготовити з 36 форм, якщо використовувати відходи також?
28. Коля заплатив 12 коп. за зошит, два олівці і гумку, а Сашко - 27 коп. за 2 зошити,   3 олівці та 3 гумки. Скільки заплатив Сергій за 2 зошити, 5 олівців та гумку ?
28. Із восьми зовні однакових монет 7 - золотих, а одна - не золота, дещо легша за інші. Потрібно за допомогою двох зважувань терезах без гирь знайти  незолоту монету.
29. Знайти двоцифрове число, котре зменшиться в 14 разів, якщо закреслити цифру одиниць в запису цього числа.
30. Два двоцифрових числа закінчуються цифрою 6. При яких умовах їх добуток закінчується числом 36?
31. Якщо до двоцифрового числа  приписати справа цифру 0, то це число збільшиться на 252. Знайдіть це число.
32. Якщо в деякому трицифровому числі, що закінчується нулем, відкинути цей 0, то це число зменшиться на 351. Знайдіть це число.
33. Сума двох чисел дорівнює 180. Частка відділення більшого на менше дорівнює 5. Знайдіть ці числа.
34. Поставте у виразі      7∙9 + 12:3 – 2 дужки так, щоб значення отриманого виразу   дорівнювало : а) 23 ; б) 75.
35. У виразі 1*2*3*4*5 - замініть зірочки знаками арифметичних  дій та поставте дужки так, щоб значення виразу    дорівнювало 100.
36. В 1983 році було 53 суботи. Яким днем тижня було 1 січня ?
37. Знайдіть найменше число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 дає в остачі 1.
38. На одну шальку терезів покладено шматок мила,    на другу   3/4 шматка такого ж мила та ще 50 г. Терези знаходяться в рівнеьззі. Яка вага шматка мила?
39. Знайти два числа, якщо потроєна сума цих чисел на 8 більша їх  подвоенної  різниці, а подвоєна сума цих чисел на 6 більша  їх різниці.
40. Сума цифр двозначного числа дорівнює 12, а різниця числа одиниць і числа десятків в цьому числі в 12 разів менше самого числа. Знайдіть це число.


Опубліковано о Немає коментарів:

Розв’язування текстових задач

  Задачі для самостійного роботи  учнів


Задачі цієї частини не розбиті ні за тематикою, ні за рівнем склад­ності, тому кожна з них потребує особливого підходу при її розв'язуванні, знаходження якого вимагає інтенсивної розумової праці.

Розв’язування  задач   записати на окремому аркуші і здати на перевірку.
1.      Знайти три попарно взаємно прості числа такі, що сума будь-яких двох з них ділиться на третє.
2.      Чоловік самостійно випиває діжечку квасу за  14, а разом з дружиною випиває таку ж діжечку квасу за 10 днів. За скільки днів одна жінка вип’є таку ж діжечку квасу?
3.  Розв’язати  ребус: КРОСС + КРОСС = СПОРТ, в якому однаковим буквам відповідають однакові цифри, різним буквам – різні цифри.
4.  На квадратному  майдані посадіть 11 лип у чотири ряди по чотири деревця у кожному ряді.
5.   Мандрівник виходить з готелю о 15-й годині дня і повертається о 21-й годині вечора тим самим маршрутом. Відомо, що рівними ді­лянками шляху він іде зі швидкістю 4 км/год, вгору - 3 км/год і вниз -6 км/год. Знайти відстань, яку пройшов мандрівник, якщо він ішов без відпочинку.
6. Картки послідовно пронумеровано натуральними числами від 1 до 2n + 1. Яку найбільшу кількість карток можна дібрати так, щоб жоден з номерів не дорівнював сумі якихось двох інших номерів карток?
7.  Знайти всі трійки натуральних чисел, що мають таку властивість: добуток будь-яких двох з цих чисел у сумі з 1 ділиться на третє число.
8. Усередині прямого кута дано точку А. Побудувати рівносторонній трикутник, однією з вершин якого є точка А, а дві інші лежать на сторонах кута (по одній на кожній стороні).
9. Квадрат 8x8 складений із кісточок доміно 1х2. Довести, що якісь дві з них утворюють квадрат 2x2.
10.  Знайти два звичайних дроби - один зі знаменником 8, а другий зі знаменником 13 - такі, що вони не дорівнюють нулю, а модуль їх різниці найменший.
11. Довести, що довільні 10 точок на площині є кінцями п'яти відрізків, що не перетинаються.
12. У краплину води, яка містить 1000 бактерій, потрапив один ві­рус. Щохвилини кожен вірус знищує одну бактерію, після чого кожна бактерія ділиться на дві бактерії, а кожен вірус - на два віруси. Чи правильно, що через деякий час не залишиться жодної бактерії?           ,
13. Є 100 різнокольорових перлин. Відомо, що перлин кожного ко­льору може бути не більше 50. Довести, що з цих перлин можна скла­сти намисто, у якому будь-які дві сусідні перлини мають різний колір.
14. Що більше: 2300 чи 3200?
15. Чи існують такі натуральні а і b, що аb(а - b) = 45 ?
16. Пряму пофарбовано в два кольори. Довести, що на ній знай­деться відрізок ненульової довжини, середина і кінці якого пофарбо­вано в один колір.
17. Чи можна розташувати по колу 15 цілих чисел так, щоб сума будь-яких чотирьох чисел поспіль дорівнювала 1 або 3?
18. На скільки частин можна розбити площину чотирма прямими? Розглянути всі можливі випадки і для кожного виконати рисунок.
19. Свіжі ягоди малини містять за масою 90 % води, а сухі - 12 %. Скільки вийде сухих ягід із 11 кг свіжих?
20.  Для  нумерації сторінок  підручника використали  312  цифр. Скільки сторінок у цій книжці?
21. Пофарбований куб із ребром завдовжки 12 см розрізали на куби­ки із ребром 2 см. Скільки   кубиків мають пофарбовані три грані, скільки - дві та у скількох пофарбована лише одна грань? Скільки кубиків не пофарбовані зовсім?
22. Знайти раціональні розв’язки рівняння з невідомим  х:    | 5∙|-5∙|х| + 5 |-5| = 25;
23.                Знайти всі набори ненульових цифр а, b, с, для яких виконується рівність a,b = а + b + с (тут а,b означає число "a цілих і b десятих").
24.  Нехай на Марсі розташовано 2000 країн і для кожної їхньої чет­вірки принаймні одна з цієї четвірки ворогує з трьома іншими. Знайти найменшу можливу кількість країн, що ворогують з усіма одразу.
25.  Знайти усі розв’язки рівняння з невідомим  х, якщо  а – параметр(довільне число):
-2а - 4aх = 6а - 4.  /
26. Вказати усі значення  параметра  а, при яких два рівняння з невідомим  х мають корені, різниця яких 5:     8-5а -7|х|   = 15-5а  і  2а- 4|х|  = 4а-7.
27. Вказати усі значення  параметра  а, при яких два рівняння з невідомим  х мають корені, частка яких рівна 4:     4-5а-3х =7-5а  і  8,4а-2х =5а-7.
28. Вказати усі такі значення  параметра  а, при яких рівняння з невідомим  х має тільки натуральні корені:     4а|х|  -2х =-16а+8; 
29.  Знайти усі такі значення  параметра  а, при яких на розв’язок  рівняння виконується умова:  1 < 5 – 2∙|х|  < 3:           -7х + 5а -14  = -2а;  
30. Шахіст зіграв 40 партій у шахи й отримав у сумі 25 очок (кожна перемога - це 1 очко, нічия - 0,5 очка, поразка - 0 очок). Знайти різницю між кількістю його перемог та кількістю його поразок.
31.  За допомогою циркуля та лінійки побудувати бісектрису даного кута за умови, що в середині кута не дозволяється позначати ніякі окремі точки (дозволяється провести лише саму бісектрису).
32.  Маємо два баки ємністю по 10 л із соляним розчином концент­рації 10 % та 15 % і посудини ємністю 3 л, 4 л, 5 л. Як за допомогою переливань отримати 1 л 12%-го соляного розчину?
33.  Чи можна розмістити в таблиці розміром 3x4 числа -1 та 1 так, щоб усі 7 сум чисел, що стоять в одному рядку або в одному стовпчи­ку, були різними?
34. Дано смужку 1x17, клітинки якої пронумеровано послідовними натуральними числами. Двоє учнів грають у гру, по черзі роблячи свої ходи. За один хід треба закреслити одну довільну клітинку в смужці або деякі дві послідовні, де перша з них парна. Програє той, хто не може зробити хід. Хто може забезпечити собі виграш - той, хто почи­нає гру, чи його суперник? Вкажіть виграшну стратегію.
35. Сума трьох трицифрових чисел ааb, аbа, bаа дорівнює 1998. Знайдіть усі трійки таких чисел.
36.Чи буде число 11... 1155...556 (1998 одиниць та 1997 п'ятірок) ква­дратом цілого числа?
37.Через точки дотику вписаного в трикутник кола зі сторонами цього трикутника провели прямі, які відповідно паралельні бісектри­сам протилежних кутів. Довести, що ці прямі перетинаються в одній точці.
38.На дошці розміром 4x4 грають двоє. Ходять по черзі, і кожний гравець своїм ходом зафарбовує одну клітинку. Кожну клітинку мож­на зафарбувати один раз. Програє той гравець, після чийого ходу утвориться квадрат 2 х 2, що складається із зафарбованих клітинок. Хто з гравців може забезпечити собі виграш - той, хто починає, чи його суперник? Відповідь обґрунтуйте.
39.  Дано 1999 чисел. Відомо, що сума будь-яких 99 з цих чисел до­датна. Довести, що сума всіх чисел є додатна.
40.  Чи можна в клітинки таблиці 7x7 записати цілі числа так, щоб сума чисел у будь-яких квадратах 2 х 2 і 3 х 3 таблиці ділилась на 1999; а сума усіх чисел таблиці не ділилась на 1999?
41.                  Чи існує 2000-значне число n, яке є квадратом натурального чи­сла і в його десятковому записі принаймні 1999 п'ятірок?
42.     Кожну точку прямої зафарбовано у синій або червоний колір. Довести, що на цій прямій знайдуться три різні точки: А, В, С, що ма­ють один колір і такі, що точка С - середина відрізка АВ.
43.    На дошці в рядок записано 1999 натуральних чисел. Довести, що можна витерти одне з них так, що сума чисел, які залишилися, буде парною. Чи правильно це буде для 2000 чисел?
44. Запишемо рівність т - п = к, в якій т, п, к - натуральні числа, причому т - п'ятизначне число. Довести, що в такому запису при­наймні одна цифра повториться.
45. Два покупці купили відповідно 5 та 31 однакових блокнотів. Перший дав касирові 5 гривень, другий — купюру в 25 гривень. Касир помилково дав здачу першого другому, а другого — першому. Визначити, скільки коштує блокнот і яку суму перший покупець повинен передати другому?
46.  Добуток п'яти послідовних натуральних чисел у 120 разів більший від числа аbаbаb. Знайти ці числа.
47.  Добуток трьох послідовних непарних чисел у 5 разів менший від числа bаbаbа. Знайти ці непарні числа.

48.  У трицифровому числі закреслили середню цифру. Отримане двоцифро­ве число в 6 разів менше даного трицифрового. Знайти це трицифрове число.  
Опубліковано о Немає коментарів:

Одночлени. Перевірка опорних знань учнів. Фронтальне опитування.

Перевірка опорних  знань учнів.

Фронтальне опитування:  Використовуйте  конспект та підручник.

1. Що таке одночлен? Наведіть приклади.
Відповідь: Цілі вирази – числа, змінні, їх степені і добутки називаються одночленами.
2. Яких арифметичних дій не може містити одночлен?
Відповідь: додавання і віднімання.
3. З яких арифметичних  дій утворюється одночлен?
Відповідь: піднесення до степеня і множення.
4. Чи може одночлен стандартного вигляду містити два числові множники?
Відповідь: не може.
5. Що є коефіцієнтом одночлена? Вказати коефіцієнт і степінь таких одночленів: -а; а; 6.
Відповідь: числовий множник одночлена, що записаний в стандартному вигляді.
6. Чи будь-який одночлен можна звести до стандартного вигляду?
Відповідь: До стандартного виду можна звести будь-який одночлен. Для цього треба:  перемножити  усі числа, перемножити усі степені з однією основою, числовий множник записати на першому місці, а степені змінних на другому.
7. Чи можна довільне натуральне число вважати одночленом?
Відповідь: так, натуральне число вважають одночленами.
8. Чи завжди вираз, у якого остання дія множення є одночленом?
Відповідь: не завжди. Не можна вважати одночленом вираз: а(1+ а).
9. Які арифметичні дії з одночленами залишають їх одночленами?
Відповідь: піднесення до степеня  одночленів і множення декількох одночленів.
10. Чи завжди будь-який одночлен можна подати як добуток двох одночленів?
 Відповідь: так, натуральне число 3 є одночленом і його можна записати 3а0.
11. Що таке многочлен? Наведіть приклади многочленів.
Відповідь: суму одночленів називать многочленом.
12. Що таке двочлен? Наведіть приклади двочленів.
Відповідь: суму двох одночленів називать двочленом.
13. Що таке подібні доданки многочлена? Наведіть приклади подібних доданків.
Відповідь: це доданки(одночлени), у яких однакова буквена частина, проте коефіцієнти можуть бути як рівними, так і різними.
14. Що таке протилежні доданки многочлена? Наведіть приклади подібних доданків.
Відповідь: це два доданки(два одночлени), у яких однакова буквена частина, проте коефіцієнти є протилежними  числами, наприклад:  а та -а.
15. Що необхідно зробити у многочленів, щоб отримати многочлен стандартного вигляду?
Відповідь: 1) звести до стандартного вигляду усі одночлени 2) звести подібні доданки; 3) записати в доданки в порядку спадання степенів.
15. Чому дорівнює сума протилежних доданків многочлена?
Відповідь: нулю.
16. Які дії можна виконувати з многочленами?
Відповідь: додавати та віднімати декілька многочленів, множити на одночлен, ділити многочлен на многочлен,  підносити до степеня.
17. Як визначити степінь многочлена?

Відповідь: тотожними перетвореннями звести його до стандартного вигляду і знайти серед його одночленів знайти  одночлен з найбільшим степенем. Степінь цього одночлена є степеню многочлена.
Опубліковано о Немає коментарів:

субота, 10 січня 2015 р.

конспекти уроків з алгебри за 7 клас

Алгебра 7 клас

Опубліковано о Немає коментарів:
Підписатися на: Дописи (Atom)