Текстові задачі на кмітливість

Уявіть себе людиною, що вміє складати латинські та магічні квадрати і використовує їхні властивості на практиці, наприклад при дослідженні різних властивостей сортів пшениці.  Вам необхідно проявити кмітливість і всі свої здібності в утворенні числових квадратів з магічними сумами.
Задача для розминки:

Нагадуємо способи утворення магічного квадрату 3х3 один одному.

Розташувати натуральні числа від 1 до 9 в магічний квадрат 3х3 можна 8 різними способами.  Знайдемо магічну суму для магічного квадрату 3х3:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3 = 45:3 =15.

Утворимо суми з трьох доданків:

9+5+1 = 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3  = 7+6+2 = 7+5+3 = 6+5+4 =15

У магічному квадраті 3х3 магічною постійною є число 15, отже,  повинні бути рівні сумі трьох чисел по 8 напрямам: по 3 рядкам, 3 стовпцям і 2 діагоналям. Оскільки число, що стоїть в центрі, належить 1 рядку, 1 стовпцю і 2 діагоналям, воно входить в 4 з 8 трійок, що дають в сумі магічну постійну. Таке число тільки одне: це 5. Отже, число, що стоїть в центрі магічного квадрата 3х3, вже відоме: воно рівне 5.

Розглянемо число 9. Воно входить тільки в 2 трійки чисел:  9+5+1 = 9+4+2 = 15. Ми не можемо помістити його в кут магічного квадрату, оскільки кожна кутова клітка належить 3 трійкам: рядку, стовпцю і діагоналі. Отже, число 9 повинно стояти в клітинці, що межує тільки із однією стороною  квадрата в її середині. Із-за симетрії квадрата байдуже, яку із сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом 5, що стоїть в центральній клітці. По обидві сторони від дев'ятки у верхньому рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яке з цих двох чисел опиниться в правому верхньому кутку і яке в лівому, знову – таки не має значення, оскільки одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному віддзеркаленні. Решта кліток заповнюється автоматично. Проведений  нами спосіб побудови магічного квадрата 3х3 не єдиний. З іншими способами  познайомимося трохи пізніше.

Завдання, які учні обговорюють в парах:

Запитання:

1. Що необхідно знайти для того, щоб утворити магічний квадрат 3х3?

Відповідь: Спочатку треба знайти магічну суму для магічного квадрату 3х3:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3 = 45:3 =15.

Потім утворити суми з трьох доданків:

9+5+1 = 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3  = 7+6+2 = 7+5+3 = 6+5+4 = 15

2. Як утворити класичний магічний квадрат 3х3?

Відповідь: Для цього накресліть порожній клітинковий  квадрат, розміром 3х3. Випішіть підряд натуральні числа : 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9. Заповніть  кожну клітинку якоюсь однією цифрою, використовуючи всі цифри, окрім 0, так , щоб  сума трьох чисел, що розташовані по горизонталям,  і  сума трьох чисел, що розташовані по вертикалям,  і  сума трьох  чисел, що розташовані по діагоналям була однакова.

Обговорення  отриманих  відповідей між учнями.

Зрозуміло, що для того аби знайти число, яке рівне  сумі чисел по рядкам,  треба додати усі цифри та отримати 45. Якщо це число розділити на 3, то отримаємо 15. Отже, сума по горизонталях, по вертикалям, по діагоналям рівна 15. Середнє серед цифр 1, 2, 3,  4, 5, 6, 7, 8, 9 - це 5, тому воно повинно стояти в центральній клітинці. Помітимо, що числа рівновіддаленні від числа 5 – це числа однакової парності  і мають таку властивість: 1+ 9 =10, 2+8 =10, 3 + 7 =10, 4+ 6 = 10. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти непарні цифри.

Проблемне запитання: Чому в кутових клітинках магічного квадрату 3х3 повинні стояти тільки парні числа?

Відповідь: В кутових клітинках повинні  стояти тільки парні числа, бо у противному випадку не утвориться магічний квадрат. Адже якщо цифра 7 і 9 опиняються  або на одній діагоналі, або в одному стовпчику, тоді   порушуються магічна сума  на цій діагоналі або  в цьому стовпчику(адже 9+7=16, що не рівне 15).

Знайшовши одне правильне розташування чисел в магічному квадраті можна отримати ще вісім  таких квадратів за допомогою повороту навколо центральної клітинки.

                                   

	5

4		2
	5
8		6

4	9	2
3	5	7
8	1	6

                                                                         

	9
3	5	7
	1

   

Отже, ми виявили деякі закономірністі  утворення  класичного магічного квадрату 3х3.   

2	7	6		2	9	4		4	3	8		4	9	2
9	5	1		7	5	3		9	5	1		3	5	7
4	3	8		6	1	8		2	7	6		8	1	6
6	1	8		6	7	2		8	1	6		8	3	4
7	5	3		1	5	9		3	5	7		1	5	9
2	9	4		8	3	4		4	9	2		6	7	2

Завдання.

1. Продовжте послідовності чисел  на три числа:

i)        123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, ... Чи вірне таке продовження: 161, 718, 192?

ii)      100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …  Чи вірне таке продовження: 289, 324, 361?

iii)    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Чи вірне таке продовження: 144, 233, 377?

iv)    1211, 2211, 1222, 1111, 2222, … Чи вірне таке продовження:  1111, 1222, 2211?

v)      Самостійно створіть закон утворення послідовності чисел і запишіть його…

2. Продовжте послідовності на три букви:

i)        П, В, С, Ч, …  Чи вірне таке продовження:  П, С, Н. (дні тиждня)?

ii)      С, Л, Б, К, …  Чи вірне таке продовження:  Т, Ч, Л. (назви місяці)?

iii)    К, О, Ж, З, …  Чи вірне таке продовження:  Г, С, Ф (кольори веселки)?   

iv)    О, Д, Т, Ч, … Чи вірне таке продовження:  П, Ш, С (назви цифр)?

v)      Самостійно створіть закон утворення послідовності  букв і запишіть його…

3. Розмістити в таблиці 3х3,  в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі  відповідно 3 та 4,  числа 1, 2 та від 5 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих.

3		4

4. Розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 7 та 8,  числа від 1 до 6 і 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума  чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найменшим із можливих.

7		8

5. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 21 до 29 так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова.

6. Циферблат годинника треба  розрізати на 4 частини так, щоб суми чисел кожної частини були чотирма послідовними числами 18, 19, 20, 21.

7. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: 1) по усіх рядках, по усіх колонках сусідні(послідовні) числа не  стоять поряд; 2) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні ; 3) сума чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні.

8. Розмістити в таблиці 3х3  числа від 1 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була різна; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих; 3) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні і найбільші із можливих; 4) суми чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні  і найменші із можливих.

9. Заповнити таблицю 1х21, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5 та дотримуючись таких умов: 1) будь-які дві сусідні цифри в таблиці не рівні; 2) всі двоцифрові числа, що утворені двома сусідніми цифрами, відрізняються між собою, якщо читати їх зліва направо.

10. Розставте числа від 1 до 8 у зафарбованих клітинках таблиці 3х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у клітинках, які мають спільну вершину.

11. Розставте двоцифрові числа, які утворені з цифр 1, 2,  3,  4, 5 у клітинках таблиці 4х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у  клітинках, які мають спільну сторону і  будь-яке двоцифрове число не містило однакових цифр.

12. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 3, 6, 9, 12, …, 27  так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках  була однакова.

1.      Яка цифра використана в слові «один»?

2.      Мама записала рівність: 17+13-19=11. Тато записав рівність: 19+11-17=13. Бабуся склала рівність: 11+19-13=17. Яку рівність склав мудрий дідусь?

3.      СЛОВ,О + СЛОВ,О=ПІСНЯ. Яка цифра відповідає літері С?

          Обґрунтуйте розв’язки задач.

1.          На дошці написано число 1. Кожну секунду до числа на дошці додають суму його цифр. Чи може через деякий час на дошці з’явитися число 123456?

2.          175 Шалтаїв коштують дорожче, ніж 125, але дешевше, ніж 126 Болтаїв. Доведіть, що на трьох Шалтаїв і одного Болтая карбованця не вистачить.

3. Розв’язати ребус на додавання двох слів КАФТАН, в якому різним буквам відповідають різні цифри, а однаковим буквам відповідають однакові цифри:

КАФТАН

КАФТАН

ТРИШКА

4.          Розріжте  прямокутник 3х9 на 8 квадратів.

5.  Чи можна помістити у квадрат 5х5:   різні  4-клітинкові фігурки;   б) рівні 5-клітинкові фігурки?

6.  Чи існує два послідовних натуральних числа, сума цифр кожного з яких ділиться на 7?

7. Є 5 монет, з яких три справжні, одна фальшива, що важить більше від справжньої, і одна – фальшива, що важить менше від справжньої. За три зважування визначить обидві фальшиві монети.

8. Скільки існує двоцифрових  натуральних чисел, обидві цифри яких розташовані у спадаючому порядку?

9. Є два пісочних годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти цей час за допомогою  даних годинників?

10.  В ряд покладено картки, на яких написано числа 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Дозволяється взяти декілька карток, що лежать підряд і переставити їх у зворотному порядку.  Чи можна за три таких операції добитися розміщення 1,2,3,4,5,6,7,8,9?

Задачі для самостійних досліджень.

1.Скільки точок перетину можуть мати чотири прямі, що не співвпадають? Замалювати кожний із можливих випадків. Скільки трикутників може утворитися?

2.Зобразити можливі випадки перетину п’яти прямих в чотирьох точках. Скільки трикутників  може утворитися? Замалювати кожний можливий випадок.

АКСІОМАТИЧНА ПОБУДОВА АРИФМЕТИКИ

Історія виникнення і еволюції вчення про натуральне число спиралося на властивості кінцевих множин. Це по суті є історія розвитку числення на пальцях, на рахунках, на абаках різного вигляду, словом, - на конкретних множинах.

Виклад шкільної арифметики з понять теорії кінцевих множин почав німецький математик  Фрідріх Мейєр, співробітник відомого німецького математика Георга Кантора по створенню теорії множин, в своєму підручнику 1885 р.

В Радянському Союзі, це зробив професор І. К. Андронов в своїх підручниках арифметики 1951 і 1955 рр. («Арифметика натуральних чисел» і «Арифметики дробових чисел і основних величин»).

Природно виникає питання: з яких первинних тверджень можна вивести все вчення про натуральне число без посилань на наочність? Іншими словами слід встановити, які твердження арифметики натуральних чисел потрібно прийняти без доведення, щоб з них можна було вивести всі інші теоретичні положення.

Твердження, що приймаються без доведення, отримали вже в давнину назву аксіом. Вперше цей термін зустрічається у Арістотеля для позначення загальновизнаних положень. У Евкліда немає терміну аксіома, а твердження, що приймаються без доведення, називаються загальними поняттями.

 Отже, в ХІХ столітті виникло питання про аксіоми арифметики натуральних чисел.

У Греції з математичних наук раніше інших розвинулася геометрія. У ній виникло перш за все питання про аксіоми і заснованому на аксіомах – аксіоматичному – побудові геометрії.

Питання це у вельми доконаному для свого часу виді був вирішено Евклідом (близько 300 р. до н. е.). «Начала» Евкліда протягом двадцяти з лишком століть вважали зразком логічної побудови системи науки на підставі вибраної системи аксіом.  Евклід дає на початку викладу перелік визначень, вимог (постулатів) і «загальних понять» (аксіом), а потім велике число теорем, тобто  тверджень, які доводяться в основному на базі аксіом і постулатів. Для Евкліда аксіоми – це самоочевидні істини.

Проте серед аксіом і постулатів у Евкліда була пропозиція, яка здавалася іншим авторам недостатньо очевидним. Це аксіома (або постулат), який у Евкліда звучить так: «Якщо пряма, падаюча на дві прямі (що перетинає їх), утворює внутрішні і по одну сторону кути менше (у сумі) двох прямих кутів, то необмежено продовжені ці дві прямі зустрінуться на тій стороні, де кути менше два прямих».

Це пропозиція тим, що продовжують Евкліда не представлялася очевиднішою, ніж багато з тих пропозицій, які доводяться.

Робилися численні спроби перетворити цю пропозицію на теорему виведенням його з інших аксіом, тобто довести постулат Евкліда, але всі ці спроби виявилися безрезультатними. Великий російський вчений Микола Іванович Лобачевський (1792–1856 рр.) довів, що пропозиція Евкліда дійсно є аксіомою – пропозицією, яку не можна вивести з інших аксіом Евкліда. Лобачевський побудував нову геометрію, в якій всі пропозиції до постулату Евкліда або що розглядаються незалежно від нього викладені в системі розвитку евклідової геометрії, але всі чужорідні по відношенню до ним пропозиції видозмінюються.

Геометрія Н. І. Лобачевського послужила початком великій кількості неевклідової геометрії. Висновки геометрії Лобачевського у багатьох випадках носять абсолютно парадоксальний характер і суперечать нашим звичайним поглядам на речі, але серед них немає жодного, безглуздість якого могла б бути встановлена.

Звідси витікає погляд, згідно якому аксіомами є не тільки самоочевидні істини, але взагалі пропозиції, що приймаються нами без доказу. Нова геометрія Лобачевського, побудована на його системі аксіом, десятки років не отримувала визнання і називалася уявною. Проте в XX в. вона стала важливим знаряддям сучасної науки про природу (астрономії, фізики), особливо в області руху. Даючи таким, що вчиться визначення аксіоми, як пропозиції, що приймається без доказу, вчителеві слід пов'язувати це з доступним викладом поглядів великого ученого і революціонера в науці М. І. Лобачевського.

У розвитку арифметики і алгебри XIX в. спостерігалися явища, подібні викладеним для геометрії.

Ірландський математик Джордж Буль (1815– 1864 рр.) близько 1850 р. видав декілька книг по логіці і математиці, в яких висловлюється деяка нова арифметика (алгебра), що йде різко в розріз із відомою на той час арифметикою. У основі її лежить система аксіом, серед яких, окрім ряду тверджень звичайної арифметики (наприклад, а + b = b + а, аb = bа і ін.), є і відмінні від аксіом звичайної арифметики, наприклад, така: (а + b) ∙ (а + с) = а + bс і ін.

Нову арифметику розглядали як гру з символами, позбавлену якого б то не було практичного сенсу. Проте в даний час ті електронні рахункові машини, про які мовилося в попередніх розділах, побудовані на підставі цієї незвичайної арифметики Буля, такої, що називалася довгий час безглуздою.

Незабаром після появи роботи Буля було поставлено питання про систему аксіом, які лежать в основі звичайної («застосовною») арифметики. Таким чином, питання про систему аксіом арифметики було вирішене в 1889 р. Система аксіом арифметики, встановлена італійським математиком Пеано (1858-1932 рр.) і прийнята в даний час наукою, складається з чотирьох тверджень:

1. Одиниця є натуральне число, не наступне безпосередньо ні за яким натуральним числом, іншими словами: одиниця є перше число натурального ряду.

2. За кожним натуральним числом а безпосередньо слідує одне і лише одне натуральне число а', що дорівнює а+1.

3. Кожне натуральне число а, відмінне від 1, має одне і лише одне натуральне число, за яким число а безпосередньо слідує.

4. Якщо яке-небудь твердження: а) справедливо для n = 1 (або n = 0) і  б) якщо з припущення про справедливість цього твердження для довільного натурального числа n слідує справедливість його для числа n+1, то це твердження вважається справедливим для довільного натурального числа.

   Якщо визначити ще арифметичні дії додавання та  множення як рівності:

   а + (b + 1) = (а + b) + 1,                          а∙(b + 1)= аb + а,

то всі правила арифметики натуральних чисел можуть бути виведені з вказаних чотирьох аксіом.

Таке визначення дій додавання і множення натуральних чисел було введене вперше чеським математиком Больцано(1781 – 1848 рр.) в 1810 р.

Потім незалежно від нього німецьким шкільним вчителем, геніальним математиком Грассманом (1809–1877 рр.) в 1861 р. і ще раз незалежно від попередників німецьким математиком Ганкелем (1839 – 1873 рр.) в 1869 р.

Унаслідок того, що роботи Больцано довгий час залишалися невідомими широкому загалу і майже забутими, аксіоматична побудова арифметики зазвичай зв'язується з іменами Грассмана і Ганкеля, що є безперечною помилкою. Незалежно від робіт Больцано і раніше робіт німецьких математиків почав виявлення аксіом арифметики М. І. Лобачевський (Алгебра або числення кінцевих, 1834 р.). До цих імен треба приєднати ще ім'я німецького ученого Фреге (1848–1925 рр.).

Він з 1879 р.  детально розвивав ті ж ідеї, які висловив свого часу Больцано, але і вони залишилися непоміченими в науці.

Роботи Буля, Фреге і Платона Сергійовича Порецького (1846 – 1907 рр.) представляють основу науки математичної логіки, в області якої в даний час відбувається вельми інтенсивна робота. Питання про аксіоми арифметики виявилося надзвичайно складним і важким. Ідеї Больцано, Буля, Порецького і Грассмана на протязі десятилітті залишилися незрозумілими.   Ретельно розроблене учення Готлоба Фреге добилося визнання математиків тільки в 1903 р.

Складність питання про аксіоматичне обгрунтування арифметики ілюструється, між іншим, наступним фактом: австрійський математик і логік Курт Гедель (народився в 1906 р. в Чехословакії) в 1932 р. довів засобами математичної логіки теорему:

у будь-якій системі аксіом виникають питання, які даними цієї системи не можуть бути розв’язані.

Ця теорема є одним з актуальних питань філософії математики сьогоднішнього дня.

Однією з основних особливостей математики наших днів є аксіоматична побудова її. З попередніх рядків ми знаємо, що сучасний погляд на аксіоми виробив  М. І. Лобачевський.

Ми можемо з гордістю констатувати факт, що М. І. Лобачевський був не тільки реформатором геометрії, що визнається всім світом вже давно, але і революціонером в області математики в цілому. Лобачевський є першим вчителем аксіоматичної математики XІX ст.

Учні не повинні на підставі цих фактів робити  висновки, що справжньою науковою арифметикою є  тільки арифметика, яка логічно побудована з системи аксіом, і все, що було накопичене людством до такої побудови в арифметиці, є первинним примітивним матеріалом для справжньої науки. «Для математики, що розвивається, логіка є лише  гігієною, але вона не поставляє їй їжі, варто зрозуміти, що насущним хлібом, яким математика живе, є завдання, які потрубують розв’язання на практиці», – пише відомий французький математик  А. Вейль («Майбутнє математики»).