Текстові задачі на складання систем рівнянь

1.    Сума двох чисел дорівнює 111, а різниця між ни­ми дорівнює 15. Знайди ці числа.

2.    Сума двох чисел дорівнює 248, а різниця між ни­ми дорівнює 132. Знайди ці числа.

3.    Сума двох чисел дорівнює 3257, а різниця між ни­ми дорівнює 1363. Знайди ці числа.

4.    Сума двох чисел дорівнює  -7354, а різниця між ни­ми дорівнює  5678. Знайди ці числа.

5.    Сума двох чисел дорівнює -23709, а різниця між ними дорівнює - 19627. Знайди ці числа.

6.    Сума двох чисел дорівнює -57438, а різниця між ними дорівнює - 29750. Знайди ці числа.

7.    Різниця між першим і другим числами дорівнює 4. Перше число збільшили на 15, а друге – на 13. Як змінилася різниця?

8.    Різниця між першим і другим числами дорівнює 37. Перше число зменшили на 23, а друге збільшили на 9. Як змінилася різниця, якою вона стала?

9.    Різниця між першим і другим числом дорівнює 43. Перше число зменшили на 29, а друге збільшили на 12. Як змінилася різниця, якою вона стала?

10.                      Різниця двох чисел 36. Перше із чисел у 2 рази більше за друге. Знайти ці числа.

11.                      Різниця двох чисел 54. Перше із них у 7 разів більше за друге. Що це за числа?

12.                      Сума двох чисел 32, вона у 8 разів більша за одне із чисел. Знайди ці числа.

13.                      Сума двох чисел 56, одне з них у 7 разів більше за друге. Знайди ці числа.

14.                      Сума двох чисел 144, перше із чисел у 17 разів  менше за друге. Знайди ці числа.

15.                      Сума двох чисел дорівнює 252: вона.у 9 разів більша за одне із чисел. Знайди ці числа.

16.                      Сума двох чисел 925, одне із них у 24 рази більше за друге. Знайди ці числа.

17.                      Сума двох чисел 2328, вона у 24 рази більша за одне із чисел. Знайди ці числа.

18.                      Різниця двох чисел дорівнює 21, вона в 4 рази менша за більше із чисел. Знайди ці числа.

19.                      Сума двох чисел у 6 разів більша за одне із чисел. Різниця шуканих чисел дорівнює 32. Знайди ці числа.

20.                      Сума більша за одне із чисел у 37 разів. Різниця між числами дорівнює 4690. Знайди ці числа.

21.                      Одне із чисел більше за друге у 32 рази. Різниця між ними дорівнює 2077. Знайди ці числа.

22.                      Сума двох чисел 84, а їх частка – число 6. Знайди ці числа.

23.                      Добуток двох чисел дорівнює 98, а їх частка – число 2. Знайди ці числа.

24.                      Добуток двох чисел дорівнює 108, а їх частка – число 3. Знайди ці числа.

25.                      Добуток двох чисел дорівнює 972, а їх частка – число 3. Знайди ці числа.

26.                      Суму чисел 2341 та 4951 збільшили на 892, і вона стала більшою у 132 рази за шукане число. Що це за число?

27.                      Число менше суми чисел 2354 та 7428 у 73 рази. Знайди це число.

28.                      Перше число більше за друге на 34179, а сума першого і другого чисел дорівнює 53265. Знайди ці числа.

29.                      Перше число більше за друге на 29375. їх сума дорівнює 35963. Знайди ці числа.

30.                      Перше число менше за друге на 32576 одиниць. Їх сума дорівнює   - 74758. Знайди ці числа.

31.                      Перше число менше за друге на 52624, а їх сума дорівнює  - 84932. Знайди ці числа.

32.                      Перше число більше за друге у 2 рази, але менше за третє у 3 рази. Різниця між першим і третім числом складає 60. Назви всі три числа.

33.                      Невідоме число зменшили у 6 разів. Різниця невідомого та одержаного дорівнює 60. Знайди невідоме число.

34.                      Перше число збільшили у 7 разів, а друге – у 8. Одержали однаковий результат – число 168. Знайди
перше і друге числа.

35.                      Перше число зменшили на 293 одиниці, а друге – збільшили у 14 разів. Одержали однаковий резуль­тат – число 518. Обчисли числа, над якими виконува­ли дії.

36.                      Перше число збільшили у 5 разів, а друге – зменшили у 7 разів. Одержали однаковий результат – число 40. Обчисли числа, над якими виконували дії.

37.                      Перше число збільшили у 17 разів, а дру­ге – на 1 95 одиниць. Одержали однаковий результат – число 391. Знайди перше і друге числа.

38.                      Перше число збільшили у 23 рази, а друге – у 34 рази. Одержали однаковий результат – число 28934. Знайди перше і друге числа.

39.                      Перше число зменшили у 22 рази, а друге – у 46 разів. Одержали однаковий результат – число 37. Знай­ди ці числа.

40.                      Якщо від числа відняти 698, то одержане число буде більше на 7321 одиницю від числа 2795. Знайди це число.

41.                      Число збільшили у 15 разів, одержане число ста­ло більшим за число 328 на 602 одиниці. Що це за число?

42.                      Невідоме число збільшили на 1248 одиниць, одержане число стало у 15 разів більше за число 132. Знайди невідоме число.

43.                      Після того, як число зменшили у 23 рази, одержа­не число стало більшим за число 729 на 541 одиницю. Знайди це число.

44.                      Невідоме число зменшили на 3258, одержане число стало у 34 рази більше за число 58. Знайди невідоме число.

45.                      Число збільшили у 17 разів, одержане число стало меншим за число 3519 у 23 рази. Знайди число.

46.                      Якщо зменшити число на 2138 одиниць, то одержимо число, що у 17 разів більше за число 258. Що це за число?

47.                      Число збільшили у 97 разів, одержане число стало більшим на 3257 одиниць від числа 4794. Знайди це
число.

48.                      До числа додали 5634, одержали число, що більше у 38 разів від числа 265. Що це за число?

49.                      Число зменшили на 1935 одиниць, одержане чис­ло стало у 15 разів більше за число 302. Що це за число?

50.                      Невідоме число збільшили на 22724 одиниці, одержане число стало у 93 рази більше за невідоме.
Знайди невідоме число.

51.                      Число зменшили на 462 одиниці, одержане чис­ло стало меншим за шукане у 23 рази. Що це за число?

52.                      Невідоме число збільшили на 3818 одиниць і одержали число, що більше за невідоме у 47 разів.
Знайди невідоме число.

53.                      Невідоме число зменшили у 127 разів, одержане число стало меншим за невідоме на 8285 одиниць. Знайди невідоме число.

54.                      Від невідомого числа відняли 16482. Одержане число зменшилося у 68 разів. Знайди невідоме число.

55.                      Невідоме число помножили на 57, воно збільшилося на 1904 одиниці. Знайди невідоме число.

56.                      Невідоме число розділили на 84, а частка невідомого і числа 84 дорівнює 17. Знайди невідоме число.

57.                      Невідоме число розділили на 143, одержане число виявилося більшим за дільник у 7 разів. Знайди невідоме число.

58.                      Невідоме число розділили на 63 і одержали чис­ло, що у 9 разів менше за дільник. Знайди невідоме число.

59.                      До невідомого числа додали 1200. Після цього воно збільшилося у 26 разів. Знайди невідоме число.

60.                      До даного числа додали його два рази і одержали число, що дорівнює сумі числа 726 та даного числа. Знайди це число.

61.                      Після того, як перше число збільшили на 47 одиниць, воно стало у 2 рази більшим за друге, а їх сума стала більшою за число 620 на 253 одиниці. Знайди перше і друге числа.

62.                      Перше число більше за друге у три рази. Перше число збільшили у 6 разів, а друге – зменшили у 2 рази. Як зміниться частка першого і другого чисел? Якою вона стане?

63.                      Перше число менше за друге у 6 разів. Перше число зменшили у 8, а друге – у 2 рази. Як зміниться частка? Якою вона стане?

64.                      Перше число більше за друге у 18 разів. Перше число збільшили у 5 разів, а друге – у 10. Як зміниться частка цих чисел? Якою вона стане?

65.                      Якщо задумане число збільшити у три рази, а потім задумане число збільшити у 5 разів і знайти між ними різницю, то вона буде дорівнювати 48. Знайди задумане число.

66.                      Перше число більше за друге у 84 рази. Перше число зменшили у 7 разів, а друге збільшили у 6 разів. Як зміниться частка першого і другого чисел? Якою вона стане? У скільки разів вона зміниться?

67.                      Перше число менше за друге у 42 рази. Перше число збільшили у 2 рази, а друге зменшили у 7 разів. Як зміниться частка чисел? Якою вона стане? У скільки разів вона зміниться?

Текстові задачі на зустрічний рух

Задачі на зустрічний рух

1. Два лижники, що знаходились один від одного на відстані 6 км 500 м, вийшли назустріч один одному і через 20 хв. зустрілись. Якби ж вони вийшли з пункту зустрічі в одному напрям­ку, то через 40 хв. один відстав від другого на 600 м.   Знайти швидкість кожного лижника.

2. Два поїзди вийшли назустріч один одному в різний час з двох станцій, відстань між яки­ми 750 км. Перший поїзд проходить за годи­ну 55 км, а другий - 60 км/год. Перший поїзд пройшов 330 км і зустрівся з другим. На скільки часу один з поїздів виїхав раніше другого?

3. Із двох міст, відстань між якими 313 км, одночасно виїхали назустріч один одному два авто­мобілі і зустрілись через 2 год. Яка швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість першо­го була більша швидкості другого на 16,5 км/год?

4. Два автобуси виїхали назустріч друг другу з двох пунктів, відстань між якими 840 км. Швидкість першого 50 км/год., швидкість дру­гого 60 км/год. Проїхавши 300 км, перший автобус зустрівся з другим. На скільки годин виїхав  другий  автобус раніше першого ?

5. З двох, станцій виходять одночасно назустріч один одному два поїзди і зустрічаються через 18 год. після свого виходу. За який; час дру­гий поїзд пройде відстань між станціями, якщо перший поїзд проходить цю відстань за 45 годин?

6. Два поїзди ідуть назустріч один одному пара­лельними коліями. Один з швидкістю 50 км/ год., другий – 40 км/год. Пасажир, що сидить в другому поїзді, замітив, що перший потяг ішов повз нього 6 с. Яка довжина першого потяга?

7.  З пунктів А і В о 9 годині вийшли назустріч один одному два автомобілі, швидкості яких відповідно дорівнюють 60 км/год  і 50 км/ год. Через  годину руху автомобілі були на відстані 190 км один від одного. О котрій  го­дині   автомобілі   будуть в пунктах А і В?

8. Відстань між двома містами один поїзд прохо­дить за 7,5 год, а другий – за 6 год. Через 1,5 год. після виходу першого потяга назустріч йому вийшов другий поїзд. Через скільки годин після виходу другого поїзда вони зуст­рінуться ?

9. З двох сіл виїхали назустріч один одному два велосипедиста з швидкостями  8 км/год та 6 км/год. Зустріч відбулась на відстані 4 км від середини шляху. Знайти відстань між селами.

10. Коли відстань між двома пішоходами була 167,5 км,  вони одночасно почали рухатись назустріч один одному  і зустрілись через 25 год. Перший пішохід про­ходив за годину на 0,3 км більше другого. Яка швидкість руху кожного пішохода?

11. Мотоцикл проходить відстань 10,8 км за 1/5 год., а автобус - за 3/10 год. Через який час, вони зустрі­нуться, якщо із кінцевих пунктів почнуть одночас­но рухатись назустріч один одному ?

12. З міст А і В, відстань між якими 329,4 км, виїха­ли назустріч один одному із міста А вантажний автомобіль, а із міста В легковий автомобіль. Швидкість ван­тажного автомобіля 72 км/год., а легкового – в 1,25 рази більше. Легковий автомобіль вийшов на 1,2 год. пізніше вантажного. Через який час і на якій відстані від міста В автомобілі зустрі­нуться?

13. Дві бригади одночасно почали прохідку 300 м тунелю, рухаючись назустріч один одному. Пер­ша бригада проходила за день 2 м тунелю, що становило 0,4 від виробітку в день другої бригади. Через скільки днів бригади закінчать проходження 300 м тунелю?

Текстові задачі на кмітливість

Уявіть себе людиною, що вміє складати латинські та магічні квадрати і використовує їхні властивості на практиці, наприклад при дослідженні різних властивостей сортів пшениці.  Вам необхідно проявити кмітливість і всі свої здібності в утворенні числових квадратів з магічними сумами.
Задача для розминки:

Нагадуємо способи утворення магічного квадрату 3х3 один одному.

Розташувати натуральні числа від 1 до 9 в магічний квадрат 3х3 можна 8 різними способами.  Знайдемо магічну суму для магічного квадрату 3х3:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3 = 45:3 =15.

Утворимо суми з трьох доданків:

9+5+1 = 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3  = 7+6+2 = 7+5+3 = 6+5+4 =15

У магічному квадраті 3х3 магічною постійною є число 15, отже,  повинні бути рівні сумі трьох чисел по 8 напрямам: по 3 рядкам, 3 стовпцям і 2 діагоналям. Оскільки число, що стоїть в центрі, належить 1 рядку, 1 стовпцю і 2 діагоналям, воно входить в 4 з 8 трійок, що дають в сумі магічну постійну. Таке число тільки одне: це 5. Отже, число, що стоїть в центрі магічного квадрата 3х3, вже відоме: воно рівне 5.

Розглянемо число 9. Воно входить тільки в 2 трійки чисел:  9+5+1 = 9+4+2 = 15. Ми не можемо помістити його в кут магічного квадрату, оскільки кожна кутова клітка належить 3 трійкам: рядку, стовпцю і діагоналі. Отже, число 9 повинно стояти в клітинці, що межує тільки із однією стороною  квадрата в її середині. Із-за симетрії квадрата байдуже, яку із сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом 5, що стоїть в центральній клітці. По обидві сторони від дев'ятки у верхньому рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яке з цих двох чисел опиниться в правому верхньому кутку і яке в лівому, знову – таки не має значення, оскільки одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному віддзеркаленні. Решта кліток заповнюється автоматично. Проведений  нами спосіб побудови магічного квадрата 3х3 не єдиний. З іншими способами  познайомимося трохи пізніше.

Завдання, які учні обговорюють в парах:

Запитання:

1. Що необхідно знайти для того, щоб утворити магічний квадрат 3х3?

Відповідь: Спочатку треба знайти магічну суму для магічного квадрату 3х3:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3 = 45:3 =15.

Потім утворити суми з трьох доданків:

9+5+1 = 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3  = 7+6+2 = 7+5+3 = 6+5+4 = 15

2. Як утворити класичний магічний квадрат 3х3?

Відповідь: Для цього накресліть порожній клітинковий  квадрат, розміром 3х3. Випішіть підряд натуральні числа : 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9. Заповніть  кожну клітинку якоюсь однією цифрою, використовуючи всі цифри, окрім 0, так , щоб  сума трьох чисел, що розташовані по горизонталям,  і  сума трьох чисел, що розташовані по вертикалям,  і  сума трьох  чисел, що розташовані по діагоналям була однакова.

Обговорення  отриманих  відповідей між учнями.

Зрозуміло, що для того аби знайти число, яке рівне  сумі чисел по рядкам,  треба додати усі цифри та отримати 45. Якщо це число розділити на 3, то отримаємо 15. Отже, сума по горизонталях, по вертикалям, по діагоналям рівна 15. Середнє серед цифр 1, 2, 3,  4, 5, 6, 7, 8, 9 - це 5, тому воно повинно стояти в центральній клітинці. Помітимо, що числа рівновіддаленні від числа 5 – це числа однакової парності  і мають таку властивість: 1+ 9 =10, 2+8 =10, 3 + 7 =10, 4+ 6 = 10. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти непарні цифри.

Проблемне запитання: Чому в кутових клітинках магічного квадрату 3х3 повинні стояти тільки парні числа?

Відповідь: В кутових клітинках повинні  стояти тільки парні числа, бо у противному випадку не утвориться магічний квадрат. Адже якщо цифра 7 і 9 опиняються  або на одній діагоналі, або в одному стовпчику, тоді   порушуються магічна сума  на цій діагоналі або  в цьому стовпчику(адже 9+7=16, що не рівне 15).

Знайшовши одне правильне розташування чисел в магічному квадраті можна отримати ще вісім  таких квадратів за допомогою повороту навколо центральної клітинки.

                                   

	5

4		2
	5
8		6

4	9	2
3	5	7
8	1	6

                                                                         

	9
3	5	7
	1

   

Отже, ми виявили деякі закономірністі  утворення  класичного магічного квадрату 3х3.   

2	7	6		2	9	4		4	3	8		4	9	2
9	5	1		7	5	3		9	5	1		3	5	7
4	3	8		6	1	8		2	7	6		8	1	6
6	1	8		6	7	2		8	1	6		8	3	4
7	5	3		1	5	9		3	5	7		1	5	9
2	9	4		8	3	4		4	9	2		6	7	2

Завдання.

1. Продовжте послідовності чисел  на три числа:

i)        123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, ... Чи вірне таке продовження: 161, 718, 192?

ii)      100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …  Чи вірне таке продовження: 289, 324, 361?

iii)    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Чи вірне таке продовження: 144, 233, 377?

iv)    1211, 2211, 1222, 1111, 2222, … Чи вірне таке продовження:  1111, 1222, 2211?

v)      Самостійно створіть закон утворення послідовності чисел і запишіть його…

2. Продовжте послідовності на три букви:

i)        П, В, С, Ч, …  Чи вірне таке продовження:  П, С, Н. (дні тиждня)?

ii)      С, Л, Б, К, …  Чи вірне таке продовження:  Т, Ч, Л. (назви місяці)?

iii)    К, О, Ж, З, …  Чи вірне таке продовження:  Г, С, Ф (кольори веселки)?   

iv)    О, Д, Т, Ч, … Чи вірне таке продовження:  П, Ш, С (назви цифр)?

v)      Самостійно створіть закон утворення послідовності  букв і запишіть його…

3. Розмістити в таблиці 3х3,  в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі  відповідно 3 та 4,  числа 1, 2 та від 5 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих.

3		4

4. Розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 7 та 8,  числа від 1 до 6 і 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума  чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найменшим із можливих.

7		8

5. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 21 до 29 так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова.

6. Циферблат годинника треба  розрізати на 4 частини так, щоб суми чисел кожної частини були чотирма послідовними числами 18, 19, 20, 21.

7. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: 1) по усіх рядках, по усіх колонках сусідні(послідовні) числа не  стоять поряд; 2) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні ; 3) сума чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні.

8. Розмістити в таблиці 3х3  числа від 1 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була різна; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих; 3) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні і найбільші із можливих; 4) суми чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні  і найменші із можливих.

9. Заповнити таблицю 1х21, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5 та дотримуючись таких умов: 1) будь-які дві сусідні цифри в таблиці не рівні; 2) всі двоцифрові числа, що утворені двома сусідніми цифрами, відрізняються між собою, якщо читати їх зліва направо.

10. Розставте числа від 1 до 8 у зафарбованих клітинках таблиці 3х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у клітинках, які мають спільну вершину.

11. Розставте двоцифрові числа, які утворені з цифр 1, 2,  3,  4, 5 у клітинках таблиці 4х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у  клітинках, які мають спільну сторону і  будь-яке двоцифрове число не містило однакових цифр.

12. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 3, 6, 9, 12, …, 27  так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках  була однакова.

1.      Яка цифра використана в слові «один»?

2.      Мама записала рівність: 17+13-19=11. Тато записав рівність: 19+11-17=13. Бабуся склала рівність: 11+19-13=17. Яку рівність склав мудрий дідусь?

3.      СЛОВ,О + СЛОВ,О=ПІСНЯ. Яка цифра відповідає літері С?

          Обґрунтуйте розв’язки задач.

1.          На дошці написано число 1. Кожну секунду до числа на дошці додають суму його цифр. Чи може через деякий час на дошці з’явитися число 123456?

2.          175 Шалтаїв коштують дорожче, ніж 125, але дешевше, ніж 126 Болтаїв. Доведіть, що на трьох Шалтаїв і одного Болтая карбованця не вистачить.

3. Розв’язати ребус на додавання двох слів КАФТАН, в якому різним буквам відповідають різні цифри, а однаковим буквам відповідають однакові цифри:

КАФТАН

КАФТАН

ТРИШКА

4.          Розріжте  прямокутник 3х9 на 8 квадратів.

5.  Чи можна помістити у квадрат 5х5:   різні  4-клітинкові фігурки;   б) рівні 5-клітинкові фігурки?

6.  Чи існує два послідовних натуральних числа, сума цифр кожного з яких ділиться на 7?

7. Є 5 монет, з яких три справжні, одна фальшива, що важить більше від справжньої, і одна – фальшива, що важить менше від справжньої. За три зважування визначить обидві фальшиві монети.

8. Скільки існує двоцифрових  натуральних чисел, обидві цифри яких розташовані у спадаючому порядку?

9. Є два пісочних годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти цей час за допомогою  даних годинників?

10.  В ряд покладено картки, на яких написано числа 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Дозволяється взяти декілька карток, що лежать підряд і переставити їх у зворотному порядку.  Чи можна за три таких операції добитися розміщення 1,2,3,4,5,6,7,8,9?

Задачі для самостійних досліджень.

1.Скільки точок перетину можуть мати чотири прямі, що не співвпадають? Замалювати кожний із можливих випадків. Скільки трикутників може утворитися?

2.Зобразити можливі випадки перетину п’яти прямих в чотирьох точках. Скільки трикутників  може утворитися? Замалювати кожний можливий випадок.