Застосування розкладу на множники у задачах

1.  Записати вираз у вигляді многочлена стандартного виду:

а) х²  + 4х + 12 – 5х² – х – 21;   

б) – 5a² – a + 4a²  + 4a + 1 – 3a² –8a – 5;

в) – 3zy² – yz + 8zy²  + 2zy + z – yz² – 4z²y – 7z.  

2. Записати вираз у вигляді многочлена стандартного виду:

а) 2(a² –3a – 2) – 3(2a² +4a – 7); 

б) -3b⁴(7b² – 4b – 7) + 2b³(b² – 3b – 1); 

в) 3nk⁴(2n⁴k² – 4n²k⁴ + kn⁵) – 4nk⁴(3n³k² + 8n³k⁴ – 2n⁵k).

3. Записати добуток різницею квадратів:

а) (c + 7)(c –7);    б) (a + 2)(2 – a);    

в) (y – 8)(8 + y);  г) (5 + d)(d – 5);

д) (7m – 8n)(8n + 7m);  е) (3b + 5a²)( 3b – 5a²);  

є) (4z⁴ + 9x⁵)(9x⁵ – 4z⁴).

4. Записати різницю квадратів у вигляді добутку:

а) n² – m²;  б) 2² – а²;   в) b² – 1²;  г) y² – 16;   д) 36х² – 49;

е) 9b² – 25c²;   є) 4z² – 9x²;  ж) 9k² – 36m²;   з) 0,49c⁴ – 0,25d⁶;  

и) 81х² – 100y⁶;  і) 4aх³ – 25b²y⁴; й) 9b²х² – 49a⁴y²;

і) 36a⁴c² – 25b²d⁴.

5. Записати у вигляді квадрату суми:

а) n² + 6n + 9;  б) x² + 2xy + y²;  в) k² + 4km + 4m²; 

г) a² + 10ab + 25b²;  д) a² + 2a + 1; е) 25n² + 60n + 36; 

є) 9n² + 42nm + 49m²; ж) 81n² + 18nm + m².

6. Записати у вигляді квадрату різниці:

а) n² – 2n + 1;  б) x² – 2xy + y²;  в) k² – 8km + 16m²; 

г) a² – ab + 0,25b²;  д) 1 – 2a + a²; е) 25z² – 60z + 36; 

є) 9n² – 48nm + 64m²; ж) 64x² – 16xy + y².

7. Записати квадрат різниці у вигляді многочлена стандартного виду:

а) (n – m)²;  б) (2 – а)²;   в) (2b – 1)²;  г) (5y – 4)²;   д) (6х – 7)²;

е) (9b – 2c)²;   є) (4z – 9x²) ²;  ж) (3k³ – 8m²) ²;   з) (7c⁴ – 5d⁵) ².  

и) (3х² – 7y³)²;  і) (4aх³ – 5by⁴)²; й) (2b²х³ – a⁴y³)²; і) (3a⁴c³ – 2b³d⁴)².

8. Записати квадрат суми у вигляді многочлена стандартного виду:

а) (m + k)²;  б) (x + 4)²;  в) (3х + 2)²;    г) (3y + 4)²;   д) (5х + 7)²;

е) (7b + 5c)²;   є) (3z + 8y²) ²;  ж) (4n³ + 3m⁴) ²;   з) (5a⁵ + 2b⁷) ².  

и) (3a² + 8b³)²;  і) (3aх⁵ + 5y⁴)²; й) (2b³х² + a⁵y⁴)²;

 і) (3a⁷c⁸ + 2b³d⁴)².

9. Записати добуток у вигляді многочлена стандартного виду:

а) (n – 3)(n² + 3n + 9);  б) (m – n)(m² + mn + n²); 

в) (k – 2m)(k² + 2km + 4m²);  г) (a – 5b)(a² + 5ab + 25b²); 

д) (a – 4b)(a² + 4ab + 16b²);

е) (5n – 6)(25n² + 30n + 36);

 є) (3n – 7m)(9n² + 21nm + 49m²);

10. Записати добуток у вигляді многочлена стандартного виду:

а) (n + 1)(n² – n + 1);  б) (a + b)(a² – ab + b²); 

в) (k + 3m)(k² – 3km + 9m²);  г) (a + 2b)(a² – 2ab + 4b²); 

д) (x + 4y)(x² – 4xy + 16y²); е) (5z + 6y)(25z² – 30zy + 36y²);

є) (5n + 7m)(25n² – 35nm + 49m²); ж) (8k + 2)(64k² – 16k + 4);

11. Записати різницю кубів у вигляді добутку:

а) n³ – m³;  б) 2³ – а³;   в) b³ – 1³;  г) y³ – 64;   д) 27х³ – 1000;

е) 8b³ – 125c³;   є) 64z³ – 0,001x³;  ж) 0,027k³ – 0,064m³;  

з) 0,125c³ – 0,008d³;  и) х⁶ – 1000y⁹;  і) 216х³ – 125b³y⁶;

й) 8b³х⁹ – 343a¹²y¹⁵;  і) 512a³c¹² – 729b²¹d⁴².

12. Записати суму кубів у вигляді добутку:

а) n³ + m³;  б) 8 + а³;   в) b³ + 1;  г) y³ + 27;   д) 64х³ + 1000;

е) 216b³ + 125c³;   є) 64z³ + 0,001x³;  ж) 0,027k³ + 0,064m³;  

з) 0,125c³ + 0,008d³;  и) х⁶ + 1000y⁹;  і) 216х³ + 125b³y⁶;

й) 8b³х⁹ + 343a¹²y¹⁵;  і) 512a³c¹² + 729b²¹d⁴².

13. Розкрити дужки

а)  (3x² – 7z)²;   б)  (x² + 2z³)²;  в)  (4m³ – 5n⁴)(4m³ + 5n⁴);

г) (z³ – x)²(z³ + x)²;  д) (a⁴ – b²)²(a⁴ + b²)²;  t) (z² – x³)²(z² + x³)².

14. Записати куб різниці у вигляді многочлена стандартного виду:

а) (n – m)³;  б) (2 – а)³;   в) (2b – 1)³;  г) (3y – 1)³;   д) (х – 7)³;

е) (5b –c)³;   є) (2z – 3x) ³;  ж) (3k – 5m)³;   з) (7c² – 5d)³;

и) (3х² – y³)³;  і) (4х³ – 5y⁴)³; й) (ab² – c⁴)³; і) (3a⁴ – 2b³)³.

15. Записати куб суми у вигляді многочлена стандартного виду:

а) (m + k)³;  б) (x + 3)³;  в) (2х + 1)³;    г) (2y + 2)³;   д) (2х + 7)³;

е) (3b + 5c)³;   є) (3z + 2y²) ³;  ж) (4n² + 3m) ³;   з) (5a² + 2b³)³.  

и) (3a² + 8b³)³;  і) (3х⁵ + 5y⁴)³; й) (х² + a²y⁴)³; і) (3a⁷c⁸ + b³d⁴)³.

16. Розкласти на множники:

1)  m² – 1;  k² – 25;   49n²  – 16; 

2) m² – 2mу + у²;    n² + 2nb + b²;

4) 0,09n² – 0,25m²;

5) 16x⁴ + 8х²  +1;

6) n³ – 0,008с³;     m³ + 0,027k³.

7) 64x³ – 27z³;    1000m³ + 216n³; 

8) 27m³ + 0,001n⁶;  125m⁹ + 0,001n⁶;

9) 36z⁴ – 36x²y + 9y².

17. Спростити вираз

a) (a + 5)² + (a – 4)(a + 4) – (a + 6)(6 – a);

б) (b – 6)²  – (b – 1)(b + 1) – (4 – b)(b + 4);

в) (2k + 5)² + (3k – 4)(3k + 4) – (4k – 6)²;

г) (k – 5)² – (7k – 4)(7k + 4) – (9k + 6) ².

18.  Розкласти  на множники:

а) k ² – m² + 4(k + m)²;

б) n³  + b³ + 6nb(n +b);

в) x³ – 4x² – 20x + 80.

19.  Спростити вираз:

a) (a + 1)²  – (a – 2)³ – (a + 2)(2 – a);

б) (b – 3)²  – (b + 1)³ – (1 – b)(b + 1);

в) (2k + 1)² + (3k – 1)³ – (2k – 3)²;

г) (a + (b + c))(a – (b + c));

д) (a  –  (b  –  c))(a + (b  –  c));

е) (2x² + 1)² + (3x – 1)³ – (2x² – 1)²;

є) (k – 2)² – (k – 2)(k + 2) – (k + 1)³.

г) (k – 2)² – (k – 2)(k + 2) – (k + 1)³.

20.  Розкласти на множники:

a) (a + 1)²  – (4a – 2)² ;

б) (b – 2)³  – (3b + 1)³;

в) (2k + 1)³ + (5k – 3)³;

г) (8k – 9)² – (2k + 7)².

21. Розв'язати рівняння, використовуючи  розклад  на множники:

а) x² + x = 0;    y² - y = 0;     z³ -  z = 0;    a³ -  a⁵ = 0;   

б) 4x² – 64 = 0;    9y² – 36 = 0;    9 – 81z²  = 0;   

в) 3x² + 4x = 0;    5y² - 6y = 0;    – 3z² – 4z = 0;     

г) x³ – 4x = 0;     49y³ – 9y = 0;     4z³ – 25z = 0; 

д) x⁴ + x = 0;      6,4y⁴ – 12,5y = 0;     8z⁴ + 27z = 0.

22. Розв'язати рівняння, використовуючи  розклад  на множники:

а) 4x² – 1 = 0;    3,6y² – 2,5 = 0;    1,6z² – 6,4 = 0;   

б) 16x² – 25x⁴ = 0;   1,6x² – 4,9x⁴  = 0;    3,6x² – 8,1x⁴  = 0;    

в) – x⁴ + 36x² = 0;    – x³ – 36x⁵ = 0;      4x – 36x³ = 0;

г) x⁴ – x³ + x² – 1 = 0;     m⁵ – m³ + m² – 1 = 0;     

д) x³ – x² – x – 1 = 0;      a³ + 15a² + 75a + 125 = 0;     

е) (x – 2)² = (x – 2) (x + 2);       16x² – (4x -5)² = 15;     

є) (x² +1)² – 4x² = (x – 1)²(x +1)²;     x⁴ – 18x² + 81 = 0;   

ж) (2x -3)² – (2x + 3)² = 12;     a³ – 12a² + 48a – 64 = 0       

22. Доведіть, що при будь-якому  натуральному значенні змінної  вираз:

а) (m + 1)² – (m – 1)² ділиться на 4;

б) (2m + 3)² – (2m – 1 )² ділиться на 8.

в) (k + 2)² – (k - 2)² ділиться на 8;

г) (3m + 1)² – (3m- 1 )² ділиться на 12.

д) (4m +3)² – (4n-3)² ділиться на 48;

е) (5k + 1)² – (2k - 1)² ділиться на 7;

є) (5m + 2)² – (5m - 2 )² ділиться на 40;

 ж)  (9k + 6)² – (7k - 6)² ділиться на 4;

з) (7k - 2)² – (2k - 7)² ділиться на 5;

и) (7n- 2)² – (2n - 7)² ділиться на 9.

23. Доведіть, що:

а) (2m – 3)² = (3 – 2m)²;

б) (–2t– 3)² = (3 + 2t)²;

в) (– a – b)(a + b)  = – (a + b)²;

г) (– c – d)³ = – (c + d)³;

д) (m – n)³ = – (m – n)³;

е) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. 

24.Доведіть, що:

а) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc + 2ac;

б) (a – b + c)² = a² + b² + c² – 2аb – 2bc + 2ac;

в) (a – b – c)² = a² + b² + c² – 2аb – 2bc – 2ac;

г) а³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – аb – bc – ac);

д) (a – b)³  + (b – c)³  + (c – a)³  = 3(a – b)(b – c)(c – a);

е) (a + b)³ + (b + c)³ + (c + a)³ = 3(a + b)(b + c)(c + a) + 2(а³ + b³ + c³ - 3abc);

є) (a ± b)⁴ = a⁴ ± 4a³b + 6a²b² ± 4ab² + b⁴;

ж) a² + (а – 1)² + (а(а – 1))² = (а² – а + 1)²;

з) а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³ + а²b + аb² + b³).

25.                    Відомо, що x + y = 0, xy = – 4. Обчислити вирази:

1) yx² + xy²;  y²x⁴ + x²y⁴;  x³ + y³;   x² + y²;

2) x⁶ + y⁶;  (x  + y)³;  (x – y)³;  уx³ + хy³.

26. Використовуючи формули скороченого множення, розкладіть на множники многочлени і знайдіть корені рівняння:       

а) 9 + 24b +16b²= 0;      (4 + a)² – 9= 0;  (9 – k)² – 25k²= 0; 

б) (1 – n)² – 81n²= 0;      49z² – 100v²;  64a² – 900b²;

в) 4900z⁴ – 2500z²= 0;         y³ + 1000= 0;          8 - 125x³= 0;      

г) m⁴ – 16= 0;         n⁶ – 1= 0;       m⁸ – 1= 0;          x² – y² – zx – zy= 0;      

д) x² – 4 – ax – 2a= 0;       25 - (4t⁴ – 4y² – 1) = 0;        

у) 3a² – 18a + 27= 0;        r³  –  4r + 16 – 4r² = 0;      49x² - (5x + 1)²= 0;      

є) (3 - 2u)² + 2(3 - 2u) + 1= 0;    (2 + t)³  - t³= 0;   (r - 1)³ + (r + 1)³= 0.