Позакласний захід “Щасливий випадок”

 

План - конспект

позакласного заходу

“Щасливий випадок”

7 клас

Тема : Щасливий випадок

Мета : Фронтальне повторення вивченого матеріалу з     математики.Розвиток логічного мислення , математичної логіки , ерудиції учнів ; встановлення і закріплення тісних , дружніх відносин між учнями та вчителями.

Обладнання:  1) Годинник з музикою або секундомер

                              2) Торбинка для заморочок

                              3) Заморочки: фішки чи доміно

                              4) Призи

                              5) Кружечки різного кольору

                              6) Чисті листи , ручки

                              7) 2 столи та 12 стільців

Журі : 2 учні та вчитель

                             Хід заходу

1. Вступне слово ведучих.

На сцені 2 ведучих.

1-й ведучий:    Всім – добрий день , друзі,-

                         Дівчата й хлоп’ята !

                         Ми ради у залі 

                         Вас нині вітати!

2-й ведучий     Покликала гра

Нас сюди на змагання

Учасникам гри

Особливі вітання!

1-й ведучий:    Чекають тут різні

На вас запитання,

І хитрі задачі,

Й цікаві завдання

2-й ведучий     Питання серйозні

Та є й жартівливі,

Тож будьте уважні

І будьте кмітливі.

1-й ведучий:    Обдумайте відповідь

Ви неодмінно,

На справу таку

Вам дається хвилина.

2-й ведучий     Лишилось питання

Одне з’ясувати:

Хто ж з учнів сьогодні

У нас буде грати?

1-й ведучий:    Довідатись легко:

Це-А і В клас

Гравці-семикласники

Нині у нас.

2-й ведучий     Всім хочеться грати,

То як вибирати?

Хай випадок вирішує,

Це він команди змішує

Капітани команд витягують жеребки і займають місця за столами.

1-й ведучий:    Гравці – новобранці

Вітаємо вас!

Бажаємо гри

Показати нам клас!

2-й ведучий     Ведіть , капітани,

Команди в дорогу,

Бажаю здобути

Я вам перемогу!

На столах у кожній команди стоїть табличка з її назвою.

2

1 гейм. ”Далі ,далі, далі”

Учасники відповідають на запитання протягом 1 хвилини . За кожну вірну відповідь вони отримують по 1 балу.

У ведучого є 2 конверти з запитаннями. Капітани кожної команди витягують по конверту.

Запитання для 1 команди.

1.     Третій степінь числа. (Куб)

2.     Частина прямої , обмеженої з однієї сторони.( Промінь)

3.     Знак , що позначає число. ( Цифра)

4.     Найбільша хорда кола ( Діаметр)

5.     Одиниця вимірювання кутів. ( Градус)

6.     Рівність двох відношень. ( Пропорція)

7.     Частина круга , обмежена двома радіусами.(Сектор)

8.     Відрізок , що сполучає центр кола з точкою на колі.( Радіус)

9.     Многокутник з найменшим числом сторін.( Трикутник)

10.                       Прилад для вимірювання кутів.( Транспортир)

11.                       Трикутник , всі сторони якого рівні між собою.( Рівносторонній)

12.                       Результат дії додавання . ( Сума)

13.                       Рівність , яка справедлива при будь - яких значеннях змінних. ( Тотожність)

14.                       Абсолютна величина числа.( Модуль)

15.                       Як називається числовий множник одночлена , записаного у стандартному вигляді? (Коефіцієнт)

16.                       Чим є сума одночленів ? ( Многочленом)

17.                       Як називається кут , суміжний з гострим? ( тупий)

18.                       Як називаються прямі , які не перетинаються ? ( Паралельними)

Запитання для 2 команди.

     

1.     Результат дії віднімання . ( Різниця)

2.     Сота частина числа.( Процент)

3.     Сума сторін многокутника ( Периметр)

4.     Фігура , утворена двома променями , що виходять з однієї точки. ( Кут)

5.     Результат ділення. ( Частка)

6.     Точка перетину діаметрів кола.( Центр)

7.     Рівність , що містить невідоме.( Рівняння)

8.     Трикутник , у якого всі кути рівні.( Рівносторонній)

9.     Сума кутів трикутника.( 180)

10.                   Значення невідомого , яке перетворює рівняння в правильну рівність.( Корінь)

11.                   1/24 частина доби. ( Година )

12.                   Сума суміжних кутів .( 180)

13.                   Твердження , яке приймається без доведення . ( Аксіома)

14.                   Промінь , що виходить з вершини кута і ділить його навпіл.(Бісектриса)

15.                   Твердження , яке потребує доведення. ( Теорема)

16.                   Як називається кут , менший за 90 градусів.(Гострий)

17.                   Як називається трикутник, у якого 2 сторони рівні .( Рівнобедрений )

18.                    Як називаються прямі , що перетинаються під прямим кутом ? (Перпендикулярні)

3. Інсценівка зі шкільного життя.

1)Урок алгебри.

1-й учень (тихо): Сашко, я погано підготувався до контрольної роботи , дай списати!

2-й учень: Якось незручно , Лідія Феодосіївна зразу здогадається , що ти в мене списав , якщо обидва напишемо на 12.

1-й учень : Не хвилюйся , я так спишу на 2 , що вона нічого не помітить.

2) Перерва. Зустрілись 2 учні 7-го класу.

-         Здоров , Сашко!

-         Здоров був.

-         Чому невеселий?

-         Як же мені бути веселим , коли в Ярослави Ганзій ангіна.

-         Та , воно , звісно, жаль.

-         Я не про те ! Як же вона мені підказуватиме алгебру зараз...

4. 2-й гейм. “Заморочки з торбинки”

Командам пропонується по черзі 4 рази витягувати “заморочки” з торбинки. За кожну правильну відповідь дається 1 бал. На обмірковування 15 секунд.

Заморочки:

1.Стоять двоє хлопчиків. Один дивиться на південь , другий на північ .Чи можуть вони побачити один одного , не  повертаючи голови і не застосовуючи дзеркал чи інших пристроїв? ( Якщо стоять обличчям один до одного)

2.Буває і великий , і малий , і повний .Ним карають у дитинстві, іноді він буває дуже прямий , досить часто тупий , але переважно гострий. Що це таке? (Кут)

3. Він буває мисливський і барабанний. Дуже мало відрізняється від дроту. А ще є десятковий і звичайний. Що це? (Дріб)

4. Є в рослини , є у слові,

    І в рівнянні також є.

    І стержневий й мичкуватий

    І кубічний і квадратний.

    Що це таке?  (Корінь)

5. Які числа протягом багатьох століть називали абсурдними , фіктивними , “числами від сатани” , “породженням диявола” ? (Від’ємні числа)

6. Назвати давньогрецького математика за ім’ям якого називається наша шкільна геометрія ?  (Евклід)

7.Кравець має шматок тканини довжиною 16 м , від якого він щодня відрізає по 2 м. Через скільки днів він відріже останній кусок? (через 7 днів)

8. Математик випадково потрапив у невелике місто і , не маючи справ , вирішив підстригтися. В місті було лише 2 перукарі . Заглянувши до одного майстра , математик побачив , що в салоні брудно , сам майстер неохайно одягнений і неохайно підстрижений. В салоні другого майстра було ідеально чисто , а його власник був ідеально одягнений та ідеально підстрижений. Як ви думаєте , до якого майстра пішов наш математик і чому?

( Математик вибрав того майстра , який краще підстриг свого клієнта , тобто до першого).

9. Кому належать слова : “ Дайте мені точку опори , і я переверну землю”? (Архімед)

5. Хвилинка відпочинку (Учень розповідає вірш)

Прийшов Петя до лікарні ,

Дивиться з-під лоба:

- Дайте мені лікарняний,

Бо в мене хвороба.

Крутить в носі , ниє спина ,

В шлункові щось коле,

В голову знання не лізуть,

Став я зовсім кволий...

Лікар вислухав хлопчину.

Пульс його послухав.

Подивився пильно в очі

Ще й обстежив вуха.

-я тебе – промовив лікар ,-

Добре розумію.

В тебе слабкість , ще й велика.

Зветься ледарія.

Доведеться тобі , Петю,

Щоб не був ти кволий,

Кожен день до нас ходити ,

Приймати уколи.

І пішов кмітливий лікар

Взяти шприць для Петі.

Повернувся , а хлопчини

Нема в кабінеті.

З того часу хлопчик Петя

Більш не симулює.

Кожен день іде до школи

І не байдикує.

6. 3 гейм “Ти - мені , я – тобі”

Учні однієї команди повинні дати відповіді на запитання учнів другої команди.

1.     Скільки планет обертається навколо Сонця?

2.     Як називається система числення якою ми користуємося? (Десяткова)

3.     Яка по порядку від Сонця наша Земля?

4.     Який музичний інструмент має найбільшу кількість струн? (Арфа)

5.     Назвати основні геометричні фігури на площині? ( Точка і пряма)

6.     На поверхні ставка росте латаття. Площа , яку воно займає , з кожним днем подвоюється. Весь ставок заріс лататтям через 20 днів. Через скільки днів заросла половина ставка? (19)

7.     Чим закінчуються день і полудень? (ь)

8.     Скільки десятків вийде . якщо помножити 2 десятки на 3 десятки? (60)

9.     Який об’єм 1 кг води? (1 л)

10.                       Бумеранг повертається назад. Чи можна кинути м’яч , щоб він повернувся назад? (Кинути м’яч об стіну)

11.                       Ношу їх багато років , а кількості не знаю. Що це? (Волосся)

12.                       Коли в порожній кишені щось є? (Коли в ній є дирка)

7. Хвилинка відпочинку. Пісня “Задача” (на мотив “Смереки”)

Усі задачі розв’язали

Юнак:

І зошити поздавали.

Я сиджу і ледь не плачу -

Не зміг розв’язати задачу.

Приспів:

Ой, задачу !

Розважить мені задачу!

Чом я над тобою плачу?

Ох , важка ж оця задача!

(2 рази)

Дівчина

Чи у хлопців запитати

Чи в дівчат її списати.

Як же мені з нею бути,

Ви порадьте мені , люди.

Приспів:

Ой , юначе!

Розв’яжи мені задачу!

Я сиджу і ледь не плачу,

 Ох , важка ж оця задача!

Юнак:

Свого лоба я нахмурив,

В голові усе там збурив.

І мені тут прояснилось,

Чом раніше не ділилось.

Приспів:

Ой, задачо!

Розв’язав я цю задачу!

І тепер я вже не плачу,

Бо легка оця задача.

8. 4 гейм . Геометричний конкурс

Учасники кожної команди отримують завдання , яке виконують на листочках.

1.     Як з трьох нулів зробити два не закреслюючи жодного?

000

2.Рибалка ловив рибу. На запитання “ Скільки ти впіймав риби?” – відповів:” Половину восьми шість без голови , дев’ять без хвоста”. Скільки риби впіймав рибалка?

3.Із дев’яти сірників скласти 5 рівносторонніх трикутників.

4. Скільки трикутників на малюнку?

5.Із запропонованих геометричних фігур скласти 1 велику.

  

9. Під час проведення геометричного конкурсу , проводиться гра для глядачів “Віриш чи не віриш”

1.     Що Шарль Перо , автор “Червоної шапочки” , написав книгу “ Кохання циркуля і лінійки”? (Так)

2.     Що Наполеон Бонапарт писав математичні роботи? (Так , відома задача Наполеона)

3.     Що Л.М.Толстой , автор “Війни і миру”, був автором підручника з математики? ( Так)

4.     Що одна з мов програмування названа “Ада” на честь Ади Байрон , дочки відомого англійського поета? (так0

5.     Що в основі всіх сучасних підручників з геометрії лежать відомі “Начала” Евкліда ? (Так)

6.     Що Піфагор брав участь у кулачному бої на 58 олімпійських іграх? ( Так , він був чемпіоном у цьому виді спорту)

7.     Що Фалес був болільником і помер на трибуні олімпійського стадіону під час бою Піфагора ? (Так)

8.     Що англійська королева , прочитавши казку Льюіса Керрола “Аліса в країні див”, так захопилася нею , що наказала доставити всі його книжки? ( Так , але була дуже розчарована , там виявилися лише математичні формули).

9.     Що якщо кожного дня переписувати по 10 годин праці Леонарда Ейлера , то не вистачить і 76 років , щоб переписати їх. (Так , його праці складають 75 великих томів).

10. 5 гейм “Погоня за лідером”

За 2 хвилини учасники повинні дати як найбільше правильних відповідей.

Запитання для 1 команди.

1.     Наука про властивості геометричних фігур. (Геометрія)

2.     Твердження , які містять формулювання основних властивостей геометричних фігур і не доводяться.(Аксіоми планіметрії)

3.     Основні геометричні фігури на площині. (Точка і пряма)

4.     Частина прямої . яка складається зі всіх точок цієї прямої , що лежать між двома даними. (Відрізок)

5.     Фігура , яка складається з трьох точок , що не лежать на одній прямій , і трьох відрізків , які попарно сполучають ці точки. ( Трикутник)

6.     Прямокутник з рівними сторонами .(Квадрат)

7.     Відстань від точок кола до його центра.(Радіус)

8.     Хорда , що проходить через центр кола. (Діаметр)

9.     Два кути ,в яких одна сторона спільна , а дві інші є доповняльними півпрямимі. (Суміжні)

10.                       Відрізок , що сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони.( Медіана)

11.                       Одиницею вимірювання кутів є...(Градус)

12.                       Чому дорівнює чверть години? (15 хв.)

13.                       Найменше натуральне число. (1)

14.                       Одиниця вимірювання швидкості на морі. (Вузол)

15.                       Відстань від точки до прямої? (Перпендикуляр)

16.                       Скільки граней в нового шестигранного олівця? (8)

17.                       Скільки вершин у куба ? (8)

18.                       Як називаються числа , які діляться на 2 ? (Парні)

19.                       Скільки кольорів входять до веселки? (7)

20.                       Скільки знаків зодіаку в одному році ? (12)

21.                       Скільки нот у музичному стані? (7)

22.                       Чому = сота частина метра ? (1 см)

 

Запитання для 2 команди.

1.Як називаються рівні сторони рівнобедреного трикутника? (Бічні)

2.Скільки існує ознак рівності трикутників? (3)

3.Як називається відрізок проведений з вершини трикутника , перпендикулярно до прямої , що містить протилежну сторону? (Висота)

4.Яку властивість має медіана рівнобедреного трикутника , яка проведена до основи? (Вона є бісектрисою і висотою)

5.Що в геометрії позначають одною великою літерою ? (Точку)

6.Яке найменше семі цифрове число ? (1000000)

10.Яка цифра ніколи не може стояти на першому місті у запису натурального числа? (0)

11.Як називається трикутник з прямим кутом ? (Прямокутний)

12.Як називаються два числа , які відрізняються лише знаком ? (Протилежні)

13.Як називається дріб , в якому чисельник менше за знаменник ?

14.Чому дорівнює 1/3 частина числа 60 ? (20)

15.Які числа називаються простими ? (Які мають тільки 2 дільника 1 саме це число)

16.Рівність двох відношень ? (пропорція)

17.Тисячна доля кілограма ? (Грам)

18.Найменше тризначне число? (100)

19.Два числа , добуток яких=1 ? (Взаємо обернені)

20.Одиниця маси для коштовних каменів ? (Карат)

21.Яке число у древньому Вавилоні вважалося священним ? (12)

22.Як називається ку , суміжний з кутом трикутника при вершині ? (Зовнішнім)

11. Художня самодіяльність.

12. 6 гейм . “Конкурс капітанів”

Зі слова “математика” скласти як можна  найбільше слів. (2 хв.)

Ведучий :   За хвилиною – хвилина.

Ось і грі прийшов кінець.

                     Тож показуй нам рахунок

                     Хто сьогодні молодець.

                     Дві команди добре грали,

                     Хоч без досвіду гравці.

Відповіді показали,

Що обидві – молодці.

Та показує рахунок,

Що одна з команд сильніша,

І з наук з твердим гранітом

Впоралась вона спритніше.

Оплесками переможців,

Дружно будемо вітати,

Їм солодкий приз – медалі,

Щоб було про що згадати.

13. Журі підводить підсумки гри. Оголошується команда – переможець. Вони нагороджуються солодкими призами.

Знаходження та побудова композицій елементарних функцій.

Історична довідка.

   Функція – одне з найважливіших понять сучасної математики. Воно виникло в XVII столітті. Спочатку Р.Декарт увів поняття змінної величини і систему координат, став розглядати залежність ординат точок графіка від їх абсцис. Слово „функція” для назви таких  залежностей вперше ввів німецький математик  Г.Лейбніц. Швейцарський математик Л.Ейлер функцією називав вираз, складений з змінної і чисел. Наприклад, вираз  3х + 5 – функція від змінної  х, бо значення даного виразу залежить від значень х. Чеський математик Б.Больцано ще більше розширив поняття  функції, він під функцією розумів будь-яку залежність однієї величини від іншої. Це поняття зусиллями багатьох математиків уточнювалось, розширювалось, наповнювалось новим змістом. Найзагальніше сучасне його означення запропонувала в ХХ ст. група математиків, що виступала під псевдонімом Н.Бурбакі:

    Функція – це відношення, при якому кожному елементу області відправлення  відповідає рівно один елемент області прибуття. Під областю відправлення (областю визначення функції) і областю прибуття (області її значень) розуміють будь-які множини, а не тільки числові. Ми будемо розглядати числові функції.

 Така залежність між змінними x та у, в якій кожному значенню х з деякої множини  D  відповідає одне і тільки одне значення у, називається функціональною залежністю, або функцією.

Наприклад: 

    а) Залежність між натуральними числами та  їх квадратами називається функціональною залежністю.

   б) Якщо кожному натуральному числу поставити у відповідність число, йому протилежне, то одержимо функціональну  залежність.

    в)  у = 2х – 3, функціональна  залежність, бо кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної у.

 2. Змінну х називають аргументом даної функції, або незалежною змінною.

     Змінну у називають функцією від х, або залежною змінною.

3. Способи задання функції:

      а) описанням, наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його квадрат;

х – аргумент, у – функція.

 б) формулою, наприклад:

                    у = 2х – 3,   х – аргумент, у – функція.

                    S = Vt,   t – аргумент, V – функція.

                    S = πR  R – аргумент, S – функція.

    

      в) таблицею, наприклад:

х	1	2	3	4	5
у	-1	1	6	5	7

           

               х – аргумент,  у – функція.

      г) графіком

  4. Область визначення функції, множина її значень.

       а) Значення, які може набувати змінна х, називаються  областю визначення функції.

      

      б)  Значення, які набуває змінна  у  називаються  множиною значень.

Наприклад.

    1) Функцію задано формулою  у = х^2– 3х.

         Знайти значення функції, коли х дорівнює: –2;0;2.

Розв’язання.

Якщо х = – 2, то   у = (–2) – 3 (–2) = 10.

Якщо х = 0, то   у = 0  – 3  0 = 0

Якщо х = 2, то   у = 2 – 3  2 = – 2

 

Означення функції.

Означення.  Нехай X , Y- деякі множини дійсних чисел. Відображенням f множини Х у множину Y будемо називати правило, яке кожному елементу хХ ставить у відповідність точно один елемент у Y.

  Зауваження. Слова: функція, відображення, оператор, відповідність, перетворення, формула, таблиця,  – певного роду слова-синоніми, що дуже близькі до поняття функція. Однак, кожне з цих слів, вказує на різні точки зору на зміст відповідності між двома множинами і на різну природу утворення цих двох множин, тому варто звертати   на точний зміст правила відображення між двома множинами.

Наприклад. А) Якщо ставиться правило взаємодії між множиною автомобілів і множиною водіїв, то отримуємо  процес, який називають, рух транспортних засобів і цей процес добре описується поняттям функція;

Б) Між множиною мобільних телефонів і множиною користувачів  мобільного зв’язку встановлюємо правило користування, то отримаємо процес обміну даними між користувачами, який описується поняттям функція.

Приклад. Множина Х складається з трьох елементів, що позначені символами:

Х = { х₁; х₂; х₃}

Множина Y складається з трьох елементів, що позначені символами: Y = { y₁; y₂}.

Cкільки існує: а) відображень усієї множини Х в довільну підмножину Y; б) відображень довільної підмножини Х на  усю множину Y; в) відображень Y в Х; г) відображень Y на Х ?

Розвʼязання. А) Складемо усі можливі відображення із множина Х на Y . У нас є три місця із множини Х. 

Перше місце х₁ займає або y₁ або y₂. 

Друге місце х₂ займає або y₁ або y₂. 

Третє місце х₃ займає або y₁ або y₂. 

Таким чином на кожне з цих трьох місць із Х є  два претенденти  із Y. Тому 2*2*2 = 8 відображень. Перелічимо їх научно:

Випадок 1. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 1	х1	х2	х2

Випадок 2. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₁), (х₃;  у₂).

у2	-	-	(х3;  у2)
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	-
Випадок 2	х1	х2	х2

Випадок 3. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₂), (х₃;  у₁).

у2	-	(х2 ;  у2)	-
у1	(х1 ; у1)	-	(х3 ;  у1)
Випадок 3	х1	х2	х2

Випадок 4. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)	-	-
у1	-	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 4	х1	х2	х2

Випадок 5. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)	(х2 ;  у2)	-
у1	-	-	(х3 ;  у1)
Випадок 5	х1	х2	х2

Випадок 6. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₂).

у2	(х1 ; у2)		(х3 ;  у2)
у1	-	(х2 ;  у1)
Випадок 6	х1	х2	х2

Випадок 7. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₂).

у2		(х2 ;  у2),	(х3 ;  у2)
у1	(х1 ; у1),
Випадок 7	х1	х2	х2

Випадок 8. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₂).

у2	(х1 ; у2)	(х2 ;  у2),	(х3 ;  у2)
у1	-
Випадок 8	х1	х2	х2

Б) Складемо усі можливі відображення із множина Х в Y( . У нас є три користувача мережі із множини Х.  У нас є два провайдера із множини Y. 

Тільки перший користувач х₁ вибирав умови провайдера y₁. 

Тільки перший і другий користувач х₁ вибирав умови провайдера y₁. 

Перший, другий, третій місце х₃ користувач х₁ вибирав умови провайдера y₁. 

Таким чином на кожне з цих трьох місць із Х є  два претенденти  із Y. Тому 2*2*2 = 8 відображень. Перелічимо їх научно:

Випадок 1. (х₁ ; у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)
Випадок 1	х1	х2	х2

Випадок 2. (х₃ ;  у₁).

у2			-
у1			(х3 ;  у1)
Випадок 2	х1	х2	х2

Випадок 3. (х₂ ;  у₁).

у2
у1	-	(х2 ;  у1)
Випадок 3	х1	х2	х2

Випадок 4. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₁).

у2	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	-
Випадок 4	х1	х2	х2

Випадок 5. (х₁;  у₁), (х₃;  у₁).

у2	-		-
у1	(х1 ; у1)	-	(х3 ;  у1)
Випадок 5	х1	х2	х2

Випадок 6. (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2		-	-
у1	-	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 6	х1	х2	х2

 

Випадок 7. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 7	х1	х2	х2

Випадок 8. Порожня множина

у2	-	-	-
у1	-	-	-
Випадок 8	х1	х2	х2

 Слід взяти до уваги те, що позначення

f: D(f)E(f)

вказує на відображення області визначення функції  D(f) на область значення E(f).

Наприклад:  Запис

f: RR

означає, що функція визначена на множині дійсних чисел і приймає свої значення на множині дійсних чисел.

   Композицією двох функцій

f: АВ 

р: ВС

називається функція

к: АС,

яка визначається тотожністю  к(х) =  р(f(x)), де х є А

Композиція  р(f(x)) читається справа наліво: композиція функцій  f та р.

Іноді в математичній літературі використовують позначення композиції двох функцій fp.

Зауваження. Як правило   р(f(x)) f(p(x)).

        Приклад 1.

Знайти складену функцію

f(f(f(х)))

якщо f(х)= -3х+2 та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для лінійної функції

                          f(x) = ax + b , де аR, bR.               

Підставимо  в аргумент  шуканої функції аx+b

f(f(x)) =  f(аx+b) = a(аx+b)+ b =а²х + ba+b

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

g(x) = f(f(x)) = -3(-3х+2) + 2 = 9х-6+ 2 = 9х – 4.

h(x) = f(g(x)) = f( f(f(x)))  = -3(9х-4) + 2 = -27х +12 + 2 = -27х + 14.  f( f(f(-1)))  = 41.

Відповідь:  -27х + 14; 41.

          Приклад 2.

Знайти складену функцію

f(f(...f(х))...)  (11-разова композиція f),

якщо f(х)= -х3 та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для кубічної функції

                       H₁(x)   =    f(x) =-х³

Підставимо  в аргумент  шуканої функції -х³

H₂(x)  =  f(f(x)) =  f(-х³) = -(-х³)³ = х⁹

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

          H₃(x)    =      f( f(f(x)))  = f(х9) = -(х⁹)³ = -х²⁷, 

            ..................................................................,

         H₁₁(x)    =      f(... f(f(x)...))  = -х¹⁷⁷¹⁴⁷  . 

Обчислимо значення функції

     H₁₁(-1)    =      f(... f(f(-1)...))  = -(-1)¹⁷⁷¹⁴⁷  = 1. 

Відповідь:  1

       Цікавими для математиків являються композиції двох функцій, які не змінюють значення аргументу, тобто композиції виду

f(p(у))=у      та         р(f(x))=х,    (*)

де   x є А, у є В,

f: АВ 

р: ВА .

       Такі композиції  будемо вважати функціональними рівняннями, а пару функцій, що задовольняє  рівностям  (*) називатимемо взаємно оберненими  функціями. Множина  розв’язків  двох рівнянь (*) – це клас функцій, за допомогою яких математики розв’язують звичайні, тригонометричні, логарифмічні та інші рівняння.

        Тому важливо знати умови існування обернених функцій.

Всі функції можна розбити на два класи: 1. Функції, обернені до яких є функціями; 2. Функції, обернені до яких не є функціями. Перші називаються оберненими, другі – не обернені.

    Обернені функції – це відповідність, в якій немає пар з однаковими першими та різними другими компонентами(функція!!!) та немає пар з однаковими другими та різними першими компонентами (обернена!!!)

Тому обернена функція кожне своє значення приймає тільки один раз, а її графік у декартовій системі координат не має точок з однаковими абсцисами і різними ординатами, а також точок з різними абсцисами, але однаковими ординатами.

            Приклад 3.

Знайти лінійну функцію р(х)

                                р(f(х)) = х,

якщо f(х)= -4х + 3.

Розв’язання:

   Спочатку з’ясуємо, чи дана функція може мати обернену. Якщо припустити, що дана функція немає оберненої, то повинні існувати такі значення х1 х2, для яких  f(х1)=f( х2). Тоді -4х1+3=-4х2+3 звідки х1  =  х2. Дане протиріччя доводить, що дана функція має обернену.

   Розпочнемо конструювати взаємно обернену функцію. Нехай  у=-4х+3. Замінимо х на  у. А потім виразимо у через х.

х = -4у + 3,   звідси    -4у = х - 3,

остаточно       у = -0,25х + 0,75.  

   Таким чином,

 f(х)= -4х + 3 та р(х) = -0,25х + 0,75. Виконаємо перевірку.

р(f(х))= -0,25(-4х + 3) + 0,75 = х - 0,75 + 0,75 = х.

  Області визначення та області значення обох функцій становлять множину дійсних чисел.

Відповідь: р(х) = -0,25х + 0,75.

   Існують функції, які обернені самі до себе. До них належать такі функції у=1/x, y=x, y=-x, y=(x+1)/(x-1)  і т.д. Постарайтесь впевнитися в цьому самостійно.

Графіки взаємно обернених  функцій завжди симетричні відносно прямої y=x.

 Наводимо приклади взаємно обернених функцій: f = x3 та f -1=, f = аx +b та f -1=.

   Правило знаходження оберненої функції:

 Якщо функція f задана формулою у= f(х), то для знаходження оберненої функції до даної, достатньо розв’язати рівняння  у= f(х) відносно х та зробити заміну х на у.

   Властивість  оберненої функції:

1.Обернена до оберненої функції являється даною функцією 

                      ( f -1) -1 = f.

Обернена до складеної функції шукається як композиція обернених компонентів справа наліво

                  

             (  f(р) ) -1 = р -1( f -1).

     Завдання для самостійного

            опрацювання

Завдання обов’язкові до виконання

Приклад а1. Знайти композиції функції  f(f(x)), якщо:

а) f(x) =х;

б) f(x) =-2х;

в) f(x) =-2 - х;

г) f(x) =-2х-х²;  

д) f(x) =-2х+ 5 ;

е) f(x) =-2х + 9 .

Приклад а2. Знайти лінійну функцію р(х),  якщо р(f(x))=х та відомо:

а) f(x) =х;

б) f(x) =-2х;

в) f(x) =-2 - х;

г) f(x) =-2х-6;  

д) f(x) =-2,7х+ 5 ;

е) f(x) =-2,8х -9,5 .

Приклад а3. Знайти композиції функцій  g(x)= р(f(x))  та обчислити g(0), якщо:

а) f(x)= 1/x; р(x)= х²-3х;

б) f(x)=–1/(2+x); р(x)= х²-3х;

в) f(x)= -2x³-2х²; р(x)= х²-2х;

г) f(x)= -2/(1+x³); р(x)= -х²-2х;

д) f(x)=x3/(1+x²); р(x)= -3x²-7.

Приклад а4. Знайти композиції функцій  g(x)=f(f(x)) та обчислити g(1), якщо:

а) f(x)= 3х;                              е) f(x)= 3/х;                                       

б) f(x)=–1/(2x);                        є) f(x)= (3+х)/x;                                                    

в) f(x)= -2x-2;                          ж) f(x)= 3х²;                                           

г) f(x)= -2/(1+x);                      з) f(x)= -3х/(1+2x);                                          

д) f(x)=x/(1+x);                         і) f(x)= 3х1/x.

Приклад а5. Знайти композиції функцій  g(x)= f(р(x))  та обчислити g(-1), якщо:

а) f(x)= 1/x; р(x)= х²-3х;

б) f(x)=–1/(2x); р(x)= х²-3х;

в) f(x)= -2x³-2х²; р(x)= х²-2х;

г) f(x)= -2/(1+x); р(x)= -х²-2х;

д) f(x)=x/(1+x); р(x)= -3х²/2.