Знаходження та побудова композицій елементарних функцій.

Історична довідка.

   Функція – одне з найважливіших понять сучасної математики. Воно виникло в XVII столітті. Спочатку Р.Декарт увів поняття змінної величини і систему координат, став розглядати залежність ординат точок графіка від їх абсцис. Слово „функція” для назви таких  залежностей вперше ввів німецький математик  Г.Лейбніц. Швейцарський математик Л.Ейлер функцією називав вираз, складений з змінної і чисел. Наприклад, вираз  3х + 5 – функція від змінної  х, бо значення даного виразу залежить від значень х. Чеський математик Б.Больцано ще більше розширив поняття  функції, він під функцією розумів будь-яку залежність однієї величини від іншої. Це поняття зусиллями багатьох математиків уточнювалось, розширювалось, наповнювалось новим змістом. Найзагальніше сучасне його означення запропонувала в ХХ ст. група математиків, що виступала під псевдонімом Н.Бурбакі:

    Функція – це відношення, при якому кожному елементу області відправлення  відповідає рівно один елемент області прибуття. Під областю відправлення (областю визначення функції) і областю прибуття (області її значень) розуміють будь-які множини, а не тільки числові. Ми будемо розглядати числові функції.

 Така залежність між змінними x та у, в якій кожному значенню х з деякої множини  D  відповідає одне і тільки одне значення у, називається функціональною залежністю, або функцією.

Наприклад: 

    а) Залежність між натуральними числами та  їх квадратами називається функціональною залежністю.

   б) Якщо кожному натуральному числу поставити у відповідність число, йому протилежне, то одержимо функціональну  залежність.

    в)  у = 2х – 3, функціональна  залежність, бо кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної у.

 2. Змінну х називають аргументом даної функції, або незалежною змінною.

     Змінну у називають функцією від х, або залежною змінною.

3. Способи задання функції:

      а) описанням, наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його квадрат;

х – аргумент, у – функція.

 б) формулою, наприклад:

                    у = 2х – 3,   х – аргумент, у – функція.

                    S = Vt,   t – аргумент, V – функція.

                    S = πR  R – аргумент, S – функція.

    

      в) таблицею, наприклад:

х	1	2	3	4	5
у	-1	1	6	5	7

           

               х – аргумент,  у – функція.

      г) графіком

  4. Область визначення функції, множина її значень.

       а) Значення, які може набувати змінна х, називаються  областю визначення функції.

      

      б)  Значення, які набуває змінна  у  називаються  множиною значень.

Наприклад.

    1) Функцію задано формулою  у = х^2– 3х.

         Знайти значення функції, коли х дорівнює: –2;0;2.

Розв’язання.

Якщо х = – 2, то   у = (–2) – 3 (–2) = 10.

Якщо х = 0, то   у = 0  – 3  0 = 0

Якщо х = 2, то   у = 2 – 3  2 = – 2

 

Означення функції.

Означення.  Нехай X , Y- деякі множини дійсних чисел. Відображенням f множини Х у множину Y будемо називати правило, яке кожному елементу хХ ставить у відповідність точно один елемент у Y.

  Зауваження. Слова: функція, відображення, оператор, відповідність, перетворення, формула, таблиця,  – певного роду слова-синоніми, що дуже близькі до поняття функція. Однак, кожне з цих слів, вказує на різні точки зору на зміст відповідності між двома множинами і на різну природу утворення цих двох множин, тому варто звертати   на точний зміст правила відображення між двома множинами.

Наприклад. А) Якщо ставиться правило взаємодії між множиною автомобілів і множиною водіїв, то отримуємо  процес, який називають, рух транспортних засобів і цей процес добре описується поняттям функція;

Б) Між множиною мобільних телефонів і множиною користувачів  мобільного зв’язку встановлюємо правило користування, то отримаємо процес обміну даними між користувачами, який описується поняттям функція.

Приклад. Множина Х складається з трьох елементів, що позначені символами:

Х = { х₁; х₂; х₃}

Множина Y складається з трьох елементів, що позначені символами: Y = { y₁; y₂}.

Cкільки існує: а) відображень усієї множини Х в довільну підмножину Y; б) відображень довільної підмножини Х на  усю множину Y; в) відображень Y в Х; г) відображень Y на Х ?

Розвʼязання. А) Складемо усі можливі відображення із множина Х на Y . У нас є три місця із множини Х. 

Перше місце х₁ займає або y₁ або y₂. 

Друге місце х₂ займає або y₁ або y₂. 

Третє місце х₃ займає або y₁ або y₂. 

Таким чином на кожне з цих трьох місць із Х є  два претенденти  із Y. Тому 2*2*2 = 8 відображень. Перелічимо їх научно:

Випадок 1. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 1	х1	х2	х2

Випадок 2. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₁), (х₃;  у₂).

у2	-	-	(х3;  у2)
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	-
Випадок 2	х1	х2	х2

Випадок 3. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₂), (х₃;  у₁).

у2	-	(х2 ;  у2)	-
у1	(х1 ; у1)	-	(х3 ;  у1)
Випадок 3	х1	х2	х2

Випадок 4. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)	-	-
у1	-	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 4	х1	х2	х2

Випадок 5. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)	(х2 ;  у2)	-
у1	-	-	(х3 ;  у1)
Випадок 5	х1	х2	х2

Випадок 6. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₂).

у2	(х1 ; у2)		(х3 ;  у2)
у1	-	(х2 ;  у1)
Випадок 6	х1	х2	х2

Випадок 7. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₂).

у2		(х2 ;  у2),	(х3 ;  у2)
у1	(х1 ; у1),
Випадок 7	х1	х2	х2

Випадок 8. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₂).

у2	(х1 ; у2)	(х2 ;  у2),	(х3 ;  у2)
у1	-
Випадок 8	х1	х2	х2

Б) Складемо усі можливі відображення із множина Х в Y( . У нас є три користувача мережі із множини Х.  У нас є два провайдера із множини Y. 

Тільки перший користувач х₁ вибирав умови провайдера y₁. 

Тільки перший і другий користувач х₁ вибирав умови провайдера y₁. 

Перший, другий, третій місце х₃ користувач х₁ вибирав умови провайдера y₁. 

Таким чином на кожне з цих трьох місць із Х є  два претенденти  із Y. Тому 2*2*2 = 8 відображень. Перелічимо їх научно:

Випадок 1. (х₁ ; у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)
Випадок 1	х1	х2	х2

Випадок 2. (х₃ ;  у₁).

у2			-
у1			(х3 ;  у1)
Випадок 2	х1	х2	х2

Випадок 3. (х₂ ;  у₁).

у2
у1	-	(х2 ;  у1)
Випадок 3	х1	х2	х2

Випадок 4. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₁).

у2	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	-
Випадок 4	х1	х2	х2

Випадок 5. (х₁;  у₁), (х₃;  у₁).

у2	-		-
у1	(х1 ; у1)	-	(х3 ;  у1)
Випадок 5	х1	х2	х2

Випадок 6. (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2		-	-
у1	-	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 6	х1	х2	х2

 

Випадок 7. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 7	х1	х2	х2

Випадок 8. Порожня множина

у2	-	-	-
у1	-	-	-
Випадок 8	х1	х2	х2

 Слід взяти до уваги те, що позначення

f: D(f)E(f)

вказує на відображення області визначення функції  D(f) на область значення E(f).

Наприклад:  Запис

f: RR

означає, що функція визначена на множині дійсних чисел і приймає свої значення на множині дійсних чисел.

   Композицією двох функцій

f: АВ 

р: ВС

називається функція

к: АС,

яка визначається тотожністю  к(х) =  р(f(x)), де х є А

Композиція  р(f(x)) читається справа наліво: композиція функцій  f та р.

Іноді в математичній літературі використовують позначення композиції двох функцій fp.

Зауваження. Як правило   р(f(x)) f(p(x)).

        Приклад 1.

Знайти складену функцію

f(f(f(х)))

якщо f(х)= -3х+2 та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для лінійної функції

                          f(x) = ax + b , де аR, bR.               

Підставимо  в аргумент  шуканої функції аx+b

f(f(x)) =  f(аx+b) = a(аx+b)+ b =а²х + ba+b

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

g(x) = f(f(x)) = -3(-3х+2) + 2 = 9х-6+ 2 = 9х – 4.

h(x) = f(g(x)) = f( f(f(x)))  = -3(9х-4) + 2 = -27х +12 + 2 = -27х + 14.  f( f(f(-1)))  = 41.

Відповідь:  -27х + 14; 41.

          Приклад 2.

Знайти складену функцію

f(f(...f(х))...)  (11-разова композиція f),

якщо f(х)= -х3 та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для кубічної функції

                       H₁(x)   =    f(x) =-х³

Підставимо  в аргумент  шуканої функції -х³

H₂(x)  =  f(f(x)) =  f(-х³) = -(-х³)³ = х⁹

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

          H₃(x)    =      f( f(f(x)))  = f(х9) = -(х⁹)³ = -х²⁷, 

            ..................................................................,

         H₁₁(x)    =      f(... f(f(x)...))  = -х¹⁷⁷¹⁴⁷  . 

Обчислимо значення функції

     H₁₁(-1)    =      f(... f(f(-1)...))  = -(-1)¹⁷⁷¹⁴⁷  = 1. 

Відповідь:  1

       Цікавими для математиків являються композиції двох функцій, які не змінюють значення аргументу, тобто композиції виду

f(p(у))=у      та         р(f(x))=х,    (*)

де   x є А, у є В,

f: АВ 

р: ВА .

       Такі композиції  будемо вважати функціональними рівняннями, а пару функцій, що задовольняє  рівностям  (*) називатимемо взаємно оберненими  функціями. Множина  розв’язків  двох рівнянь (*) – це клас функцій, за допомогою яких математики розв’язують звичайні, тригонометричні, логарифмічні та інші рівняння.

        Тому важливо знати умови існування обернених функцій.

Всі функції можна розбити на два класи: 1. Функції, обернені до яких є функціями; 2. Функції, обернені до яких не є функціями. Перші називаються оберненими, другі – не обернені.

    Обернені функції – це відповідність, в якій немає пар з однаковими першими та різними другими компонентами(функція!!!) та немає пар з однаковими другими та різними першими компонентами (обернена!!!)

Тому обернена функція кожне своє значення приймає тільки один раз, а її графік у декартовій системі координат не має точок з однаковими абсцисами і різними ординатами, а також точок з різними абсцисами, але однаковими ординатами.

            Приклад 3.

Знайти лінійну функцію р(х)

                                р(f(х)) = х,

якщо f(х)= -4х + 3.

Розв’язання:

   Спочатку з’ясуємо, чи дана функція може мати обернену. Якщо припустити, що дана функція немає оберненої, то повинні існувати такі значення х1 х2, для яких  f(х1)=f( х2). Тоді -4х1+3=-4х2+3 звідки х1  =  х2. Дане протиріччя доводить, що дана функція має обернену.

   Розпочнемо конструювати взаємно обернену функцію. Нехай  у=-4х+3. Замінимо х на  у. А потім виразимо у через х.

х = -4у + 3,   звідси    -4у = х - 3,

остаточно       у = -0,25х + 0,75.  

   Таким чином,

 f(х)= -4х + 3 та р(х) = -0,25х + 0,75. Виконаємо перевірку.

р(f(х))= -0,25(-4х + 3) + 0,75 = х - 0,75 + 0,75 = х.

  Області визначення та області значення обох функцій становлять множину дійсних чисел.

Відповідь: р(х) = -0,25х + 0,75.

   Існують функції, які обернені самі до себе. До них належать такі функції у=1/x, y=x, y=-x, y=(x+1)/(x-1)  і т.д. Постарайтесь впевнитися в цьому самостійно.

Графіки взаємно обернених  функцій завжди симетричні відносно прямої y=x.

 Наводимо приклади взаємно обернених функцій: f = x3 та f -1=, f = аx +b та f -1=.

   Правило знаходження оберненої функції:

 Якщо функція f задана формулою у= f(х), то для знаходження оберненої функції до даної, достатньо розв’язати рівняння  у= f(х) відносно х та зробити заміну х на у.

   Властивість  оберненої функції:

1.Обернена до оберненої функції являється даною функцією 

                      ( f -1) -1 = f.

Обернена до складеної функції шукається як композиція обернених компонентів справа наліво

                  

             (  f(р) ) -1 = р -1( f -1).

     Завдання для самостійного

            опрацювання

Завдання обов’язкові до виконання

Приклад а1. Знайти композиції функції  f(f(x)), якщо:

а) f(x) =х;

б) f(x) =-2х;

в) f(x) =-2 - х;

г) f(x) =-2х-х²;  

д) f(x) =-2х+ 5 ;

е) f(x) =-2х + 9 .

Приклад а2. Знайти лінійну функцію р(х),  якщо р(f(x))=х та відомо:

а) f(x) =х;

б) f(x) =-2х;

в) f(x) =-2 - х;

г) f(x) =-2х-6;  

д) f(x) =-2,7х+ 5 ;

е) f(x) =-2,8х -9,5 .

Приклад а3. Знайти композиції функцій  g(x)= р(f(x))  та обчислити g(0), якщо:

а) f(x)= 1/x; р(x)= х²-3х;

б) f(x)=–1/(2+x); р(x)= х²-3х;

в) f(x)= -2x³-2х²; р(x)= х²-2х;

г) f(x)= -2/(1+x³); р(x)= -х²-2х;

д) f(x)=x3/(1+x²); р(x)= -3x²-7.

Приклад а4. Знайти композиції функцій  g(x)=f(f(x)) та обчислити g(1), якщо:

а) f(x)= 3х;                              е) f(x)= 3/х;                                       

б) f(x)=–1/(2x);                        є) f(x)= (3+х)/x;                                                    

в) f(x)= -2x-2;                          ж) f(x)= 3х²;                                           

г) f(x)= -2/(1+x);                      з) f(x)= -3х/(1+2x);                                          

д) f(x)=x/(1+x);                         і) f(x)= 3х1/x.

Приклад а5. Знайти композиції функцій  g(x)= f(р(x))  та обчислити g(-1), якщо:

а) f(x)= 1/x; р(x)= х²-3х;

б) f(x)=–1/(2x); р(x)= х²-3х;

в) f(x)= -2x³-2х²; р(x)= х²-2х;

г) f(x)= -2/(1+x); р(x)= -х²-2х;

д) f(x)=x/(1+x); р(x)= -3х²/2.