Тотожні перетворення виразів.

Тотожні вирази. Тотожність.

Два вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких значеннях, називають тотожними, або тотожно рівними.

Приклад тотожно рівних виразів 2х + 7 і 7 + 2х.

Рівність, правильна при будь-яких значеннях змінних, називають тотожністю.

Приклади тотожностей: 2х + 7х = 9х; 2 (х - 1) = 2х - 2.

Тотожні перетворення виразів.

Заміна даного виразу іншим, тотожним йому, називається тотожним перетворенням виразу.

До найпростіших тотожних перетворень відносяться зведення подібних доданків та розкриття дужок.

Щоб звести подібні доданки, треба додати їх коефіцієнти і знайдений результат помножити на спільну буквену частину.

Наприклад: 5х + 2х - 7х; 9а - а = 8а; 4b + 75 – 2b = 9b.

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+», треба опустити дужки і знак «+», що стоїть перед ними, і записати всі доданки зі своїми знаками.

Наприклад: 4х + (2m - 5р) = 4х + 2m - 5р.

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «—», треба опустити дужки і знак «-», що стоїть перед ними, і записати всі доданки із протилежними знаками.

Наприклад: 7х - (5а – 2b) = 7х - 5а + 2b.

Дужки у виразах виду а (b + с) і а (b - с) розкриваються за допомогою розподільної властивості множення.

Наприклад: 4(х + 2) = 4 ∙ х + 4 ∙ 2 = 4х + 8;

7(х - 1) = 7 ∙ х - 7 ∙ 1 = 7х - 7;

3(а - b + 2) = За - Зb + 3 ∙ 2 = За - Зb + 6.

Приклад 1. Спростіть вираз 3(х - 7) + 4(2 - х).

Розв’язання. 3(х - 7) + 4(2 - х) = Зх - 3 ∙ 7 + 4 ∙ 2 - 4х = Зх - 21 + 8 - 4х = -x - 13.

Приклад 2. Спростіть вираз 4(2х + 3) - 3(3х - 2) та знайдіть його значення, якщо х = 28.

Розв’язання. Маємо 4(2х + 3) - 3(3х - 2) = 4 ∙ 2х + 4 ∙ 3 – 3 ∙ Зх + 3 ∙ 2 = 8х + 12 - 9х + 6 = 18 - х.

Якщо х = 28, то 18 - х = 18 - 28 = -10.

Обчислити:

 (2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1) -2³²

(3+1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)(3⁸+1) - 3¹⁶

(5-1)(5+1)(5²+1)(5⁴+1)(5⁸+1)(5¹⁶+1) -5³²

(4-1)(4+1)(4²+1)(4⁴+1)(4⁸+1)(4¹⁶+1) -4³²

ТЕСТ для школярів. Задачі комбінаторики.

ТЕСТ. Задачі комбінаторики.

Розв'язання завдань обґрунтуйте. Для цього запишіть послідовні логічні дії та пояснення, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. У разі необхідності проілюструйте розв'язання схемами, графіками, таблицями. А потім оберіть правильну, на вашу думку, відповідь.

1. Із Києва до Сімферополя можна дістатися або поїздом, або автобусом, або літаком, а з Сімферополя до Ялти - або авто­бусом, або тролейбусом. Скільки існує різних способів дістатися до Ялти з Києва через Сімферополь?

А)  2+3;      Б) 2∙3 ;       В) 2³ ;         Г) 3²; Д)  (2+3)! .

2. За умовою попередньої задачі знайдіть кількість варіан­тів здійснення подорожі за маршрутом Київ - Сімферополь -Ялта - Сімферополь - Київ, якщо зворотний шлях провести в поїзді.

А) 6; Б) 12;          В) 18;   Г) 24;   Д) 36 .

3. Скільки тризначних чисел можна утворити, використову­ючи три картки з цифрами: 1, 5, 5?

А)одне;      Б) два;        В) три;       Г) чотири;  Д) більше чотирьох .

4. Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, не повторюючи їх?

А) 24 ;        Б)  22;        В)  20;        Г) 18;            Д) 16.

5. Правильний тетраедр, грані якого пофарбовані в різні ко­льори, кидають послідовно три рази. Скільки існує різних наборів кольорів граней, на які може впасти цей тетраедр?

А)  12;        Б)  37;        В)  64;        Г) 125;       Д) 216.

6. Телеведучий має надати слово чотирьом особам: журна­лісту А, експерту Б, чиновнику В і депутату Г. Скільки існує різних способів виступу гостей студії, якщо чиновник В катего­рично відмовляється виступати раніше, ніж депутат Г?

А)  24;        Б)  18;        В) 12;   Г) 6;        Д)  3.

7. У ресторані швидкого харчування пропонують n  перших страв, m других страв і k третіх страв. Скільки різних варіантів обіду може запропонувати цей ресторан своїм клієнтам?

А) 3!∙(n+m+k) ;   Б) 3!∙n∙m∙k;            В) n∙m∙k;   Г) n+m+k; Д) (n∙m∙k ):3.

8. Завуч має скласти розклад для 11-го класу на понеділок, маючи для цього сім різних уроків. Скільки існує різних варіантів такого розкладу?

А) 7;   Б) 7∙7;  В) 7∙7∙7∙7∙7∙7∙7;   Г)7! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7;   Д)77.

9. Після вдалого вступного тестування п'ятеро щасливих сту­дентів здійснили подорож до Закарпаття, замовивши для цього автомобіль на 5 пасажирських місць. Хазяїн фірми, до якої звернулися друзі, запропонував їм подорожувати Україною щороку за умови, що кожного наступного разу вони сідатимуть у той самий автомобіль по-іншому. Після того як усі способи посадки будуть вичерпані, хазяїн фірми пообіцяв, що їх возитимуть безкоштовно. Коли настане цей день?

А) через 24 роки;     Б) через 50 років; В) через 75 років; Г) через 100 років; Д) через 120 років.

10. За умовою попередньої задачі одного дня двоє з п'яти друзів повинні були відвідати супермаркет. Скількома способами можна здійснити вибір цього «продуктового десанту»?

А) двома; Б) п'ятьма;                 В) десятьма;   Г) двадцятьма;   Д) тридцятьма.

11. Після конвокації п'ятеро магістрів зайшли до ресторану відзначити цю непересічну подію. Директор ресторану запропону­вав їм і надалі відвідувати саме цей ресторан цього дня щороку, причому кожного разу сідати за той самий КРУГЛИЙ стіл іншим способом. Директор пообіцяв, що, після того як усі способи посад­ки за стіл будуть вичерпані, їх годуватимуть у ресторані безкош­товно. Коли настане цей день?

А) через 5 років; Б) через 10 років;  В) через 24 роки;   Г) через 50 років; Д) через 120 років.

12. Скільки існує різних способів складання трикольорового прапора з вертикальними смугами, якщо є тканина п'яти різних кольорів?     

А) 10;         Б)  15;        В)  30;        Г) 60;           Д) 120 .

13. На загальних зборах трудового колективу з 12 осіб обгово­рюють кандидатів на посади керівника цього колективу та йог заступника. Кожний варіант керівного складу обговорюється окремо протягом НЕ МЕНШ ніж 10 хв. Скільки ЩОНАЙМЕНШІ триватиме засідання трудового колективу, якщо планується об­говорити ВСІ варіанти?

А) 24 год;  Б)  22 год;  В) 20 год;   Г) 16 год;  Д) 12 год.

14. У далекій Країні Чудес між кожними двома містами є чарівна стежка. Скільки в цій країні міст, якщо всіх стежок біль­ше ніж 70, але менше ніж 80?

А) 10;         Б) 11;         В) 12;        Г) 13;           Д) 14.

15. На площині розташовано 25 різних точок так, що ніякі три з них не лежать на одній прямій. Скільки існує трикутників із вершинами в цих точках?

А) 2300;     Б) 13 800;  В) 7500;     Г) 10 000 ; Д) 3400 .

16. Експерт із управління цінними паперами розглядає 9 об'єк­тів для інвестування. Лише 3 з них будуть вибрані. Скільки варіантів вибору є в експерта?

А)  A³₉ = 9∙8∙7;    Б) 9∙9∙9 ;    В) 9∙3 ;       Г) 3⁹;   Д)  C³₉  = (9∙8∙7):(1∙2∙3).

17. Скількома способами можна із колоди в 36 карт взяти п'ять карт так, щоб чотири з них були тузами?

А) C⁵₃₆;       Б) 4∙C⁵₃₆ ;   В) C⁴₃₆;       Г) C¹₃₂;       Д) 4∙C¹₃₂.

18. Із великої колоди (52 карти) обирають шість. Скільки існує варіантів, у яких серед цих шести карт буде три королі?

А) 4∙C³₄₈;    Б) 4∙A³₄₈;    В) C³₆;        Г) 4∙C⁶₅₂;    Д) 4∙A⁶₅₂.

19. Є дві паралельні прямі. На першій з них вибрано n різ­них точок, а на другій - k різних точок. Скільки існує трапецій з вершинами в цих точках?

А) C⁴_n+k;     Б) A⁴_n+k;      В) C²_n∙A²_k;           Г) A²_n∙A²_k;  Д) C²_n∙C²_k.

20. На випускному вечорі присутні n дівчат і m хлопців. Скількома способами можна утворити з них k пар для виконан­ня вальсу (k < m < n)

А) C^k_n∙C^k_m; Б) C^k_n+C^k_m;    В)  A^k_n∙A^k_m;     Г) A^k_n+A^k_m;   Д) C^k_n∙A^k_m.

21. Скільки доданків у розкладі бінома (а² + b)²⁰⁰⁸ міститимуть парні натуральні степені числа b?

А) 2009;     Б) 2008;     В) 1005;     Г) 1004;     Д) інша відповідь.

22. У розкладі бінома (x - 2) ²⁵ знайдіть доданок, який містить x¹⁰.

А) 2¹⁵ ∙ С¹⁰₂₅х¹⁰ ;  Б) - 2¹⁵ ∙ С¹⁰₂₅х¹⁰; В)  С¹⁰₂₅х¹⁰;   Г) - С¹⁰₂₅х¹⁰;   Д) інша відповідь.

23. У продажу є квіти чотирьох сортів. Яку найбільшу кількість різних букетів, що складаються з семи квіток, можна утворити?

А) С⁷₄  = 120;      Б) 28;           В) 49;   Г) 16;       Д) інша відповідь.

24. Яка найбільша кількість різних  шестицифрових чисел, які можна складати з трьох двійок, двох сімок, і однієї п’ятірки?

 А) С⁶₃;  Б) (6!):(1!∙2!∙3!) = 60;  В) 6∙(2∙3∙1);   Г) 6∙5∙4∙3∙2∙1;   Д) інша відповідь.

 25.  Яка найбільша кількість різних  трицифрових чисел, які можна складати з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри в числі можуть повторюватися?

 А) С⁶₃;  Б) (6!):(1!∙2!∙3!) = 60;  В) 6∙(2∙3∙1);   Г) 6∙5∙4;   Д) 216 = 6∙6∙6.

26. Яка найбільша кількість різних  трицифрових чисел, які можна складати з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри в числі не можуть повторюватися?

 А) С⁶₃;  Б) (6!):(1!∙2!∙3!) = 60;  В) 6∙(2∙3∙1);   Г) А³₆ = (6!):(6-3!) = 6∙5∙4;  Д) 216 = 6∙6∙6.

27. Туристична фірма провела вуличне опитування 2000 гро­мадян України стосовно планів на цьогорічний літній відпочинок. Серед опитаних 1200 осіб планують побувати на морі, 650 - у горах, а 500 - у сільській місцевості. Відомо також, що 250 осіб планують цього року відвідати і море, і гори, 200 - і море, і сільсь­ку місцевість, а 100 - і гори, і сільську місцевість. Знайдіть кількість осіб, які НЕ планують відвідати ЖОДНУ із названих місцевостей, якщо всі три місцевості бажають відвідати 50 осіб.

Відповідь:  150 осіб.

28.    За умовою попередньої задачі вкажіть кількість опита­них (у тисячах осіб), які бажають відвідати цього літа ТІЛЬКИ ОДНУ з наведених місцевостей: або лише море, або лише гори, або лише село. Відповідь:      1400 осіб.

29.    Василько має намір заповнити цифрами 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3 квадрат розміром 3x3 клітинки так, щоб у кожному стовп­чику і рядку сума чисел дорівнювала 6. Скількома способами він може це зробити?

Відповідь:  12.   

30.    Знайдіть кількість непарних шестицифрових чисел, які складаються лише з нулів та трійок.

Відповідь: 1∙2∙2∙2∙2∙1 = 16.  

31.    Скільки є чотирицифрових чисел, кратних 25?
Відповідь: 9∙10∙4 = 360.       

32.    Скільки існує прямих у = ах + b, де а, b - натуральні числа, не більші за 10?

Відповідь: 10∙10 = 100.        

33.    У шаховому турнірі було зіграно 105 партій. Знайдіть кіль­кість учасників турніру, якщо відомо, що кожний із них зіграв із кожним з інших учасників по одній партії.

Відповідь: 14∙(14+1):2 =105, отже 15 учасників.     

34.    Пан Забувайло поклав речі в автоматичну камеру схову, кодовий замок якої замикається шифром, що складається з трьох цифр. Наступного дня, забувши код, Забувайло почав його під­бирати. Він пам'ятав, що останні дві цифри коду різні, але пра­
вильний номер вдалося набрати лише з останньої спроби серед можливих. Скільки спроб передувало вдалій?

Відповідь: 10∙10∙9 -1 = 899.

35.    Шифровки агента 001 містять лише два різних символи: нуль та одиницю. Скільки різних «слів» може зашифрувати агент, якщо кожне слово є послідовність не більш ніж шести символів.

Відповідь:  2¹ +2² + 2³ +2⁴ + 2⁵ + 2⁶ =126.

36.    Нехай а і b - відповідно кількість правильних і непра­вильних дробів m/n ( m не рівне n), які можна скласти з одноцифрових чисел 1, 2, 3, 4, 5. Укажіть правильне співвідношення між а і b із наведених нижче. У відповідь запишіть НОМЕР цього співвідношення. 1) а = b = 20; 2) а - b = 10; 3) а - b = 20; 4) а = 2b; 5) b = 2а;  6) b - а = 20;

7) b - а = 10;  8) а = b =10. Відповідь: 8.

37. Маленький Андрійко склав із кубиків слово БАРАБАН. Старший брат Андрійка, Іванко, запропонував йому з УСІХ цих кубиків скласти нові «слова» (набори літер, які не обов'язково мають зміст). Скільки всього НОВИХ «слів» (не враховуючи початкове) може скласти Андрійко на прохання Іванка?

Відповідь: 419 = (7!):(2!∙3!) -1.

38. Пончик вирішив поснідати в кафе, замовивши для себе 6 порцій каші. Скільки різних варіантів ранкового меню для Пон­чика є  в офіціанта, який його обслуговує, якщо в кафе на момент замовлення було лише 4 різних види каші? Під час відповіді врахуйте, що примхливий гурман Пончик вимагає, щоб усі порції йому принесли одночасно.

Відповідь:  C⁶_4+6-1 = (9∙8∙7∙6∙5∙4):(1∙2∙3∙4∙5∙6) = 84

39. Знайдіть дві останні цифри числа, яке є значенням виразу

C⁰₂₃ +C¹₂₃ +C²₂₃ + … + C²¹₂₃ + C²²₂₃ +C²³₂₃

Відповідь: це число 2²³ і воно закінчується такими двома цифрами   08.

40. Скільки існує різних телефонних номерів, які містять не менше двох, але не більше семи цифр, якщо телефонний номер може починатися і з нуля?

Відповідь: 10² +10³ +10⁴ + …+ 10⁷ = 10²∙(1+10¹ +10² + …+ 10⁵) = 10²∙(10⁶ -1) / (10-1) = 1 млн 111 тис 100 номерів.  

41. Доведіть, що С²₂₀₁₀ + С⁴₂₀₁₀ +С⁶₂₀₁₀ + С⁸₂₀₁₀ +... + С²⁰⁰⁶₂₀₁₀ + С²⁰⁰⁸₂₀₁₀ ділить­ся на 30.

42. Для святкування Нового року дитячий садок замовив Діда Мороза. За контрактом Дід Мороз мав святкувати в трьох групах чисельністю 15 осіб кожна і роздати 30 однакових подарунків у кожній групі. У першій групі Дід Мороз роздав подарунки порівну; у другій групі — так, що ніхто не залишився без подарунка; у третій групі знесилений Дід Мороз роздав подарунки навмання. Скількома способами можна було здійснити розподіл подарунків у кожній із груп?

Відповідь: У першій групі один спосіб. У другій групі – C¹⁵₁₅₊₁₄ = (29!):(14!∙15!). У третій групі – C³⁰₁₅₊₂₉ =  (44!):(30!∙14!).

43. Скільки трикутників можна скласти, обираючи три з чо­тирьох відрізків, довжини яких дорівнюють 1 см, 1 см, 2 см і 3 см?

А)  жодного;       Б)  один;    В) два ;      Г) три;        Д) більше трьох.

Задачі комбінаторики для олімпіадного тренажу учнів 7 класів

Задачі комбінаторики для  олімпіадного тренажу учнів 7 класів

1. В магазині "Все до чаю  є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця. Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?

2. В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця та  4 чайні ложки. Скількома способами можна купити комплект з чашки, блюдця та ложки?

3. В Країні Чудес є три міста: А, Б і В. З міста А в місто Б ведуть 6 доріг, а з міста Б у місто В – 4 дороги . Скількома способами можна проїхати від А до В?

4. В Країні Чудес є чотири міста: А, Б і В, Г і декілька нових доріг. Скількома способами можна тепер добратися з міста А в місто В?

5. В магазині "Все до чаю' , як і раніше, продається 5 чашок, 3 блюдця та 4 чайні ложки. Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?

6. Назвемо натуральне число "симпатичним", якщо в його запису зустрічаються тільки непарні цифри. Скільки існує 4-цифрових "симпатичних" чисел?

7.  Монету кидають тричі.    Скільки різних послідовностей орлів та решок можна при цьому отримати?

8. Кожну клітинку квадратної таблиці 2x2 можна пофарбу­вати в чорний або білий колір. Скільки існує різних роафарбувань цієї таблиці?

 9. Скількома способами можна заповнити одну картку в ло­тереї "Спортпрогноз"? (В цій лотереї треба передбачити підсумок тринадцяти. спортивних матчів. Підсумок кожного матчу – перемога однієї з команд або нічия; рахунок не має значення.)

10. Алфавіт племені Мумбо-Юмбо складається з трьох літер А, Б та В. Слово – будь-яка послідовність, яка складається не більше як з 4 літер. Скільки слів в мові племені Мумбо-Юмбо?

Вказівка. Підрахуйте окремо кількість одно-, дво-, три- та чотирилітерних слів.

11. У футбольній команді (11 чоловік) треба, вибрати капіта­на та його заступника. Скількома способами це можна зробити?

12. Скількома способами можна зробити трикольоровий прапор з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є матерія шести різних кольорів?

13. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу та чорну  тури  так, щоб вони не били одна одну?

14. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білого  і чорного королів так, щоб вийшла допустима правилами гри позиції'

15. Скільки існує трицифрових чисел, в запису яких 1, 2, 3 зустрічаються рівно по одному разу.

16. Скількома способами можна викласти в ряд червону, чор­ну, синю та зелену кульки?

17. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ВЕКТОР"?

18. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ЛІНІЯ"?

19.    Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ПАРАБОЛА"?

20.  Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ОРТОГОНАЛЬНИЙ"?

21.  "МАТЕМАТИКА". Відповідь. 10!/(3!∙2!∙2!).

22.  В країні 20 міст, кожні два з яких з'єднані авіалінією. Скільки авіаліній в цій країні?

23.  Скільки діагоналей в опуклому "n"-кутнику?

24. Намисто – це кільце, на яке нанизано намистинки. На­мисто можна повертати, але не перевертати. Скільки різних намист можна зробити з 13 різнокольорових намистин

25. Намисто – це кільце, на яке нанизано намистинки. Припустимо тепер, що намисто можна й перевертати. Скільки тоді різних намист можна зробити з 13 різнокольорових на­мистин?

26.  Скільки існує 6-цифрових чисел, в напису  яких є при­наймні одна парна цифра?

27.  В абетці племені Бум-Бум шість літер. Словом є будь-яка, послідовність, з шести літер, в якій є принаймні дві однакові літери. Скільки слів в мові племені Бум-Бум?

28. В кіоску "Друк України" продаються 5 видів конвертів та 4 види марок. Скількома способами можна, купити конверт з маркою?

29. Скількома способами можна, вибрати голосну та приго­лосну літери зі слова "КРУЖОК"?

30. На дошці написано 7 іменників, 5 дієслів та 2 прикмет­ники. Для речення треба вибрати по одному слову кожної з цих частин мови. Скількома способами це можна зробити?

31.  У двох колекціонерів-початківців є по 20 марок і по 10 значків.    Чесним обміном називається обмін однієї марки на одну марку або одного значка на один значок.   Скількома способами колекціонери можуть здійснити чесний обмін?

32. Скільки існує 6-цифрових чисел, всі цифри яких мають однакову парність?

33. Треба відіслати 6 термінових листів. Скількома спосо­бами це можна зробити, якщо для передачі листів можна використати трьох кур'єрів і кожен лист можна дати будь-якому з кур'єрів?

34. Скількома способами з повної колоди (52 карти) можна вибрати 4 карти різних мастей і вартості?

35. На полиці стоять 5 книг. Скількома способами можна викласти в купку декілька з них (купка може складатися і з однієї книги)?

36. Скількома способами можна поставити 8 тур на шахову дошку так, щоб вони не били одна одну?     

37. На танцмайданчику зібралися N юнаків та N дівчат. Скількома способами вони можуть розбитися на пари для участі в черговому танці?     

38. Чемпіонат України по шахам проводиться в одне коло. Скільки грається партій, якщо участь беруть 18 шахматистів?

39. Скількома способами можна поставити на шахову дошку а) дві тури; б) двох королів; в) двох слонів; г)двох коней; д) двох ферзів так, щоб вони не били одне одного?

40. У мами два яблука, три груші та чотири апельсини. Кож­ного дня протягом дев'яти днів підряд вона дає синові один з фруктів, які залишилися. Скількома способами це може бути зроблено?

41. Скількома способами можна поселити 7 студентів в З кімнати: одномісну, двомісну та чотиримісну?     

42. Скількома способами можна розставити на першій гори­зонталі шахової дошки комплект білих фігур (король, ферзь, дві тури, дна слони та два коні)?

43. Скільки слів можна скласти з п'яти літер А і не більш як її трьох літер Б?

44. Скільки існує 10-цифрових чисел, в яких маємо принаймні ми однакові цифри?

45. Яких 7-цифрових чисел більше:  тих, в запису яких є  І ЧИ інших?

 46. У лабораторії науково-дослідного інституту працює декілька чоловік, причому кожний з них знає хоча б одну іноземну мову, 6 чоловік знають англійську, 6 – німецьку, 7 – французьку, 4 знають англійську і німець­ку, 3 – німецьку і французьку, 2 – французьку і англійсь­ку, один чоловік знає всі три мови. Скільки чоловік пра­цює в лабораторії? Скільки з них знає лише англійську мову? Скільки чоловік знає лише одну мову?

 47.  Староста одного класу дав такі відомості про учнів: «У класі навчаються 45 учнів, у тому числі 25 хлопчи­ків. 30 учнів вчаться на «добре» і «відмінно», у тому числі 16 хлопчиків. Спортом займаються 28 учнів, у тому числі 18 хлопчиків і 17 учнів, які вчаться на «добре» і «відмінно». 15 хлопчиків вчаться на «добре» та «відмінно» і займають­ся спортом. Покажіть, що в цих відомостях є помилка.

48. Скільки чисел серед першої сотні натураль­них чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5? 49. Скільки чисел серед першої тисячі натураль­них чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5, ні на 7?

49.  Скількома способами можна вибрати голос­ну і приголосну зі слова «паркет»?

50. а)Скількома способами можна вказати на ша­ховій дошці два квадрати – білий та чорний?

     б) Розв'яжіть цю задачу, якщо немає обмежень на колір квадрата.      в) Розв'яжіть її, якщо потрібно вибрати два білих квадрати.

51. Скількома способами можна вибрати на шаховій дошці білий та чорний квадрати, що не лежать на одній горизонталі або на одній вертикалі?

52. З 3 примірників підручника алгебри, 7 при­мірників підручника геометрії та 6 примірників підручни­ка фізики потрібно вибрати комплект, що містить по одно­му підручнику з кожного предмету. Скількома способами це можна зробити?

53. У кошику 12 яблук та 10 апельсинів. Іван­ко вибирає або яблуко, або апельсин, після чого Надійка вибирає з фруктів, що залишилися, і яблуко, і апельсин.  Скільки можливостей таких виборів?  За якого вибору Іван­ка Надійка має більше можливостей вибору?

54. Скількома способами можна обтягнути 6 стільців тканиною, якщо є тканина шести різних коль­орів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

55 . Скількома способами можуть розташувати­ся у турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо відо­мо, що ніякі дві команди не набрали порівну очок?

56. Скільки чотиризначних чисел можна утво­рити з цифр 0, 1,2, 3, не повторюючи їх?

 57. Скількома способами можна скласти три­колірний смугастий прапор, якщо є тканина п'яти різних кольорів? Розв'яжіть ту ж саму задачу за умови, що одна смуга повинна бути червоною.

58. Є 8 токарів.  Скількома способами можна поручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей по одному виду на кожного.

59.  До профкому обрано 9 чоловік. З них треба обрати голову, його заступника, секретаря та культорга. кількома способами це можна зробити?

Відповідь: n =9∙8∙7∙6 =  3024.

60. Скількома способами можна вкинути 5 лист­ів в 11 поштових скриньок, якщо до кожної скриньки вкинути не більше одного листа?

61. На зборах мають виступити 5 чоловік: А, Б, В, Г, Д. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо: Б не повинен виступати перед А;  якщо Б мусить виступити відразу за А?

62. Скільки різних натуральних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожне число містить кожну з даних цифр не більше одного разу?

ЗРАЗКИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ КОМБІНАТОРИКИ ДЛЯ УЧНІВ 7 КЛАСУ

ЗРАЗКИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ  КОМБІНАТОРИКИ ДЛЯ УЧНІВ 7 КЛАСУ

Задача 1. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком; з Чернігова до Новгород – Сіверська – пароплавом і автобусом. Cкількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ – Чернігів – Новгород – Сіверськ?

Розв’язання. Очевидно, число різних шляхів з Києва до Новгород-Сіверська дорівнює 4∙2 = 8, бо, обравши один з чотирьох можливих способів подорожі від Києва до Чернігова, маємо два можливих способи подорожування від Чернігова до Новгород-Сіверська.

Такі міркування, які були проведені при розв'язуванні задачі 1, доводять справедливість такого простого тверджен­ня, яке будемо називати основним правилом комбінаторики.

Якщо деякий вибір А можна здійснити m різними спосо­бами, а для кожного з цих способів деякий другий вибір В можна здійснити n способами, то вибір А і В (у вказаному порядку) можна здійснити m∙n способами.

Інакше кажучи, якщо певну дію (наприклад, вибір шля­ху від Києва до Чернігова) можна здійснити m різними спо­собами, після чого другу дію (вибір шляху від Чернігова до Новгород-Сіверська) можна здійснити n способами, то дві дії разом (вибір шляху від Києва до Чернігова, вибір шляху від Чернігова до Новгород-Сіверська) можна здійснити m∙n способами.

Задача 2. У розиграші першості країни з футбола бере участь 16 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота і срібна медалі?

Розв’язання. Золоту медаль може одержати одна з 16 команд. Після того, як визначено володаря золотої медалі, срібну медаль може мати одна з 15 команд. Отже, загальне число способів, якими може бути розподілена золота і срібна медалі, до­рівнює 16∙15 = 240.

Сформулюємо тепер основне правило комбінаторики (правило множення) в загальному вигляді.

Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу дію можна виконати n₁ способами, другу дію – n₂ способами, третю дію – n₃ способами і так до k-ї дії, яку можна вико­нати n_k способами, то всі k дії разом можуть бути виконані  n₁∙ n_2∙ n₃∙…∙ n_k-1∙n_k способами.

Задача 3. Скільки чотиризначних чисел можна склас­ти з цифр 0, 1,2, 3,4, 5, якщо:

а)      жодна цифра не повторюється більше одного разу;

б)      цифри можуть повторюватись;

в)      числа повинні бути непарними?
Розв'язання.  а) Першою цифрою числа може бути одна з 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5 (0 не може бути, бо тоді число не чотиризначне); якщо перша цифра обрана, то друга може бути обрана 5 способами, третя – 4, четверта – 3. Згідно з правилом множення загальне число способів дорівнює 5∙5∙4∙3 = 300.

б)      Першою цифрою може бути одна з цифр 1, 2, 3, 4, 5 (5 можливостей), для кожної з наступних цифр маємо 6 мож­ливостей (0, 1,2,3, 4, 5). Отже, число шуканих чисел дорів­нює 5∙6∙6∙6=5∙ 6³ = 1080.

в)      Першою цифрою може бути одна з цифр 1, 2, 3, 4, 5, а останньою – одна з цифр 1,3,5, (числа повинні бути не­парними). Отже, загальна кількість чисел дорівнює 5∙6∙6∙3 = 540.

Для того щоб добре засвоїти основне правило комбінато­рики, обов'язково треба розв'язати подані нижче вправи.

Вправи

4. Скільки існує п’ятицифрових чисел, для запису яких використовуються тільки цифри: а) 1, 2, 3, 4  б) 0, 1, 2, 3?( Кожна цифра може бути використана декілька разів).

Відповідь: а)4⁵ , б) 3∙4⁴.

5.На вершину гори веде 7 доріг. Скількома способами турист може піднятись на гору і спуститись з неї? Дайте відповідь на те ж саме запи­тання, якщо підняття і спуск відбуваються різними шляхами.

 Відповідь: 49 способи, 42 способи.

6.В наряд можна послати трьох чоловік, одного із п’яти офіцерів, одного із семи сержантів і одного із 20 солдат. Скількома способами можна скласти наряд?

Відповідь: 20∙7∙5.

7. а)Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Відповідь: 3⁵.

В наряд можна послати двох чоловік, одного із трьох сержантів і одного із 6 солдат. б)Скількома способами можна скласти наряд? Відповідь: 3∙6 =18.

8.Скільки різних дільників має число 3⁵∙5⁴? Відповідь: (5+1)∙(4+1) = 30. Скласти таблицю всіх дільників.

9. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу? Відповідь: 5∙4∙3.

10. Скількома способами 7 осіб можуть розташуватись в чергу до каси? Відповідь: 7∙6∙8∙5∙4∙3∙2∙1.

11. В класі вивчають 14 предметів. В понеділок 7 уроків, причому всі уроки різні. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок?

12. Скільки є п'ятизначних чисел, які діляться на 5?

13. П'ять хлопчиків і 5 дівчаток сідають в ряд на 10 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номера­ми, а дівчатка – на місця з парними номерами. Скількома способами це можна  зробити? Відповідь: (5!)∙(5!)

14. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «математика»? Відповідь: 10!/(3!∙2!∙2!)

15.Автомобільні номери складаються з однієї, двох або трьох букв і чотирьох цифр. Знайти число таких номерів, використовуючи 33 букви алфавіту.

16. В селищі мешкає 1500 жителів. Довести, що принаймні два з них мають однакові  ініціали.

17. Скільки різних дільників має число 6⁶∙7⁴?

18. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу? Відповідь: 5∙4∙3.

Скількома способами 7 осіб можуть розташуватись в чергу до каси? Відповідь: 7∙6∙8∙5∙4∙3∙2∙1.

19. В класі вивчають 10 предметів. В понеділок 6 уроків, причому всі
уроки різні. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок?

Скільки є п'ятизначних чисел, які діляться на 5? Відповідь: 10∙9∙8∙7∙6∙5= 151200

20. П'ять хлопчиків і 5 дівчаток сідають в ряд не 10 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номера­ми, а дівчатка – на місця з парними номерами. Скількома способами це можна  зробити? Відповідь: (5!)∙(5!)

21. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «арифметика»?

22. Автомобільні номери складаються з однієї, двох або трьох букв і чотирьох цифр. Знайти число таких номерів, використовуючи 30 букви алфавіту.

23. Скільки різних дільників має число 8³∙9⁴? Скласти таблицю всіх дільників цього числа.

24. Від А до В 999 км. Вздовж дороги стоять стовпи, на яких вказано відстані до А і до В | 0.999 | ; | 1.998| ; | 2.997] ; . . . ; | 999.0 |. Скільки серед них таких, на яких є тільки дві різні цифри? Відповідь: 40.

25. Пасажир залишив речі в автоматичній камері схову, а коли при­йшов одержувати речі, то виявилось, що він забув номер. Він лише па­м'ятає, що в номері були цифри 23 і 37. Щоб відкрити камеру, треба пра­вильно набрати п'ятизначний номер. Яку найбільшу кількість номерів треба перебрати, щоб відкрити камеру?

25. В прямокутній таблиці з m рядків і n стовпців записані числа +1 і -1 так, що добуток чисел в кожному рядку і кожному стовпці дорівнює 1. Скількома способами це можна зробити?

Відповідь: Всі таблиці, які мають вказану в умові задачі властивість, можна скласти так. Всюди, крім останнього рядка і останнього стовпця, до­вільно виписуємо +1 і –1. Це можна зробити 2^(n-1)(m-1) способами. Нехай р – добуток всіх виписаних чисел. Тепер в кожному з перших m -1  рядів на перетині з n-м стовпцем виписуємо +1 або –1 так, щоб добуток чисел в усьому рядку дорівнював 1. Позначимо добуток чисел, які будуть виписані в n-му рядку, через x. Тепер в кожному з перших n-1 стовпців на перетині з m-м рядком випишемо теж +1 або –1 тaк, щоб добуток в стовпці дорівнював 1. Добуток чисел, які будуть виписані в m-му рядку, позначимо через у. Зауважимо, що х і у мають однаковий знак. Справді, рх = 1, ру = 1. і тому р²ху = 1, і, значить, ху > 0. Випишемо на перетині т-го рядка і л-го стовпця 1 з тим знаком, який мають х і у. Тоді добуток чисел в n-му стовпці і m-му рядку також до­рівнюватиме 1. Склали таблицю, яка має вказану властивість. Число всіх  таких   таблиць   дорівнює  2^(n-1)(m-1).

26. На залізниці є десять семафорів, кожний з яких може передати три сигнали: червоний, жовтий, зелений. Скільки різних сигналів можна передати за допомогою усіх семафорів. Відповідь: 3^10.

27. Існує десять ліхтариків, кожен з яких може бути або включений, або виключений.Скільки різних сигналів можна передати за допомогою усіх ліхтарів? Відповідь: 2¹⁰.

28. Проста шашка знаходиться в крайньому нижньому лівому полі шахової дошки. Скількома різними способами вона може  пройти в дамки? Способи вважаються різними, якщо вони відміняються один від одного хоча б одним ходом.

Відповідь: На другу горизонталь шашка може перейти одним способом, на третю – двома, на четверту – трьома, на п’яту – шістьма, на шосту – дев’ятьма, на сьому горизонталь – двадцятьма способами, а пройти в дамки шашка може 35 способами.

29. У квадраті 3х3 клітинки верхня ліва точка позначена літерою А. Скільки можна побудувати трикутників, одною з вершин яких є точка А, а дві інші вершини – будь-які вершини квадратиків 1х1 даного квадрата? Відповідь: 25 трикутників.

30.В наряд можна послати двох чоловік, одного із трьох сержантів і одного із 6 солдат. б)Скількома способами можна скласти наряд? Відповідь: 3∙6 =18.

Зразки задач комбінаторики з повним обгрунтуванням
________________________________________
1. Скількома способами можна обтягнути 6 стільців тканиною, якщо є тканина шести різних кольорів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

Розв'язання. Перенумеруємо усі стільці і усі кольори. Перший стілець можна обтягнути 6 способами. Залишилося 5 різних кольорів вільних.  Другий стілець можна обтягнути 5 способами. Залишилося 4 різних кольорів вільних. Третій стілець можна обтягнути 4 способами. Залишилося 3 різних кольорів вільних. Четвертий стілець можна обтягнути 3 способами. Залишилося 2 різних кольорів вільних.  П’ятий стілець можна обтягнути 2 способами. Залишилося 1 колір вільний. Шостий стілець можна обтягнути 1 способом. Залишилося 0 кольорів і більше немає стільців.

За правилом добутку отримаємо Р₆ = 1∙2∙3∙4∙5∙6=6! = 720.

Відповідь: n = 720.

2 . Скількома способами можуть розташувати­ся у турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо відо­мо, що ніякі дві команди не набрали порівну очок?

Відповідь: n = Р₁₀=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10 = 10!

3. Скільки чотиризначних чисел можна утво­рити з цифр 0, 1,2, 3, не повторюючи їх?

Розв'язання.

Перестановкою без повторень (за умовою) заданих цифр можна утворити чотиризначне або тризначне (з нулем на першому місці) числа. Ніяк інакше такі числа отримати не можна. Загальна кількість перестановок чотирьох елементів без повторень Р =4∙3∙2∙1. З них перестановок з нулем на першому місці. Звідси шукана кількість чотиризначних чисел дорівнює n= 3∙3∙2∙1=18.

Відповідь: n = 18.

 4. Скількома способами можна скласти три­колірний смугастий прапор, якщо є тканина п'яти різних кольорів? Розв'яжіть ту ж саму задачу за умови, що одна смуга повинна бути червоною.

Розв'язання.

Кількість триколірних смугастих прапорів, що скла­дені з тканини 5 кольорів, дорівнює числу розміщень без повторень 5 кольорів по трьох місцях на прапорі:

                                                       5∙4∙3 = 60

Якщо ж одна із смуг червона, то її на прапорі можна розташувати трьома способами. Для кожного з таких роз­міщень червоної смуги два кольори для смуг, що залиши­шся, можна вибрати з чотирьох кольорів і розмістити по двох місцях на прапорі  4∙3 = 12 способами. За правилом добутку з червоною смугою можна скласти

1∙4∙3 + 1∙4∙3 + 1∙4 ∙3 = 3∙4∙3 = 36 прапорів.

Відповідь: n₁ = 60,  n₂ = 36.

 5. Є 8 токарів.  Скількома способами можна поручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей по одному виду на кожного.

Розв'язання.

Йдеться про вибір трійки токарів з восьми з подальшим розміщенням їх біля трьох верстатів, що виготовляють різні деталі. Тому  n = 8∙7∙6 = 336.

Відповідь: n = 336.

6.  До профкому обрано 9 чоловік. З них треба обрати голову, його заступника, секретаря та культорга. Скількома способами це можна зробити?

Відповідь: n =9∙8∙7∙6 = 3024.

7. Скількома способами можна вкинути 5 лист­ів в 11 поштових скриньок, якщо до кожної скриньки вкинути не більше одного листа?

Відповідь:  n = 11∙10∙9∙8∙7.

8. На зборах мають виступити 5 чоловік: А, Б, В, Г, Д. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо:

1)    Б не повинен виступати перед А;

2)    якщо Б мусить виступити відразу за А?

Розв'язання.

Загальна кількість можливих списків промовців дорівнює Р₅ = 5! = 120. З  них у половині списків Б виступає за А. Тому: 1) n₁=60.

Якщо ж Б повинен виступити відразу за А, то, вважаючи пару (А, Б) співпромовцями однієї доповіді, дістанемо, що 2) n₂ = 4! = 24 – кількість списків доповідей.

Відповідь: n₁ = 60,  n₂ = 24.

9. Скільки різних натуральних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожне число містить кожну з даних цифр не більше одного разу?

Розв'язання.

З п'яти цифр можна утворити: одноцифрові, двоцифрові, ..., п'ятицифрові числа. Одноцифрових натуральних чисел, очевидно, буде чотири. Процес утворення двоцифрового числа можна описати так: з п'яти цифр на місце десятків можна 4 цифри(бо нуль не можна поставити на перше місце), а на місце одиниць можна поставити чотири цифри(бо одну цифру вже використали), таким чином, на двоцифрових чисел  4∙4 = 16.

Вибравши три цифри з п'яти і розмістивши їх на міс­цях для числа сотень, десятків і одиниць,  отримаємо

n₃  = 4∙4∙3 = 48 чисел

Аналогічно,

n₄ = 4∙4∙3∙2 = 96;

n₅ = 4∙4∙3∙2∙1 = 96.

Загальна ж кількість чисел

K =   n₁+ n₂+ n₃+ n₄+ n₅= 4 + 16 + 48+96 + 96 =260.

Відповідь: 260.

10. У Ніни є сім різних книг з математики, а у Мирослави – дев’ять різних книг з української літератури. Скількома способами вони можуть обмінятися один з одним п’ятьма книгами?

Розв’язання. Так як 5 різних книг із 7 можливих книг  можна вибрати: (7∙6)/(1∙2)=21, отже 21 спосіб може запропонувати Ніна. Так як 5 різних книг із 9 можливих книг  можна вибрати: (9∙8∙7∙6∙5)/(1∙2∙3∙4∙5)=126, отже 126 способів може запропонувати Мирослава. Таким чином число всіляких обмінів, згідно правилу добутку рівно 21∙126 =2646 способів.

Відповідь. 2646.

11. Номер автобусного квитка складається з 6 цифр. Квиток називають щасливим, якщо сума перших трьох цифр його номера рівна сумі трьох останніх цифр. Які автобусні квитків більше: щасливих чи тих, чиї номери діляться на 11?

Розв’язання. Щасливі квитки, згадані в умові, називатимемо щасливими по-київські. Назвемо квиток щасливим по-вінницьки, якщо сума цифр його номера, що стоять на парних місцях, рівна сумі цифр, що стоять на непарних місцях.

З'ясуємо спочатку, які щасливі квитків більше  по-київські або по-вінницькі? Їх порівну, оскільки між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність таким чином. Переставимо цифри номера квитка, щасливого по-київськи: перші три цифри поставимо на непарні місця (перше, третє і п'яте), а останні три цифри  на парних (наприклад, номер 129345 перетвориться на 132495.) Отримаємо щасливий по-вінницьки квиток.

Тепер відмітимо, що номер будь-якого квитка, щасливого по-вінницьки ділиться на 11. Зворотне невірно: існують не щасливі по-вінницькі квитки, номери яких діляться на 11, наприклад, якщо різниця сум цифр, що стоять на непарних і парних місцях, рівна 11. Тому квитків з номерами, що діляться на 11 більше,  ніж щасливих по-вінницьки, а значить і по-київські.

Довідка. Ознака подільності на 11: «Число ділиться на 11,  тоді і тільки тоді, коли сума його цифр, що стоять на парних місцях, мінус сума цифр,  що стоять на непарних місцях, ділиться на 11».

Відповідь.  Квитків з номерами,  що діляться на 11 більше.

Задачі для самостійного опрацювання

1.  Скількома способами можна вибрати голос­ну і приголосну зі слова «паркет»?

 2. а)Скількома способами можна вказати на ша­ховій дошці два квадрати – білий та чорний?

     б) Розв'яжіть цю задачу, якщо немає обмежень на колір квадрата.

    в) Розв'яжіть її, якщо потрібно вибрати два білих квадрати.

3. Скількома способами можна вибрати на шаховій дошці білий та чорний квадрати, що не лежать на одній горизонталі або на одній вертикалі?

4.Із 3 примірників підручника алгебри, 7 при­мірників підручника геометрії та 6 примірників підручни­ка фізики потрібно вибрати комплект, що містить по одно­му підручнику з кожного предмету. Скількома способами це можна зробити?

5. У кошику 12 яблук та 10 апельсинів. Іван­ко вибирає або яблуко, або апельсин, після чого Надійка вибирає з фруктів, що залишилися, і яблуко, і апельсин.  Скільки можливостей таких виборів?  За якого вибору Іван­ка Надійка має більше можливостей вибору?

6. Скількома способами можна обтягнути 7 стільців тканиною, якщо є тканина 5 різних коль­орів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

7 . Скількома способами можуть розташувати­ся у турнірній таблиці 8 футбольних команд, якщо відо­мо, що ніякі дві команди не набрали порівну очок?

8. Скільки чотиризначних чисел можна утво­рити з цифр 0, 1,2, 3, не повторюючи їх?

 9. Скількома способами можна скласти три­кольорний смугастий прапор, якщо є тканина п'яти різних кольорів? Розв'яжіть ту ж саму задачу за умови, що одна смуга повинна бути червоною.

10. Є 7 токарів.  Скількома способами можна поручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей по одному виду на кожного.

11.  До профкому обрано 6 чоловік. З них треба обрати голову, його заступника, секретаря та культорга. Скількома способами це можна зробити?

12. Скількома способами можна вкинути 5 лист­ів в 11 поштових скриньок, якщо до кожної скриньки вкинути не більше одного листа?

13. На зборах мають виступити 6 чоловік: А, Б, В, Г, Д, Ж. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо:

1)    Б не повинен виступати перед А;

2)    якщо Б мусить виступити відразу за А?

14. Скільки різних натуральних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожне число містить кожну з даних цифр не більше одного разу?