Розв’язування текстових задач

  Задачі для самостійного роботи  учнів

Задачі цієї частини не розбиті ні за тематикою, ні за рівнем склад­ності, тому кожна з них потребує особливого підходу при її розв'язуванні, знаходження якого вимагає інтенсивної розумової праці.

Розв’язування  задач   записати на окремому аркуші і здати на перевірку.

1.      Знайти три попарно взаємно прості числа такі, що сума будь-яких двох з них ділиться на третє.

2.      Чоловік самостійно випиває діжечку квасу за  14, а разом з дружиною випиває таку ж діжечку квасу за 10 днів. За скільки днів одна жінка вип’є таку ж діжечку квасу?

3.  Розв’язати  ребус: КРОСС + КРОСС = СПОРТ, в якому однаковим буквам відповідають однакові цифри, різним буквам – різні цифри.

4.  На квадратному  майдані посадіть 11 лип у чотири ряди по чотири деревця у кожному ряді.

5.   Мандрівник виходить з готелю о 15-й годині дня і повертається о 21-й годині вечора тим самим маршрутом. Відомо, що рівними ді­лянками шляху він іде зі швидкістю 4 км/год, вгору - 3 км/год і вниз -6 км/год. Знайти відстань, яку пройшов мандрівник, якщо він ішов без відпочинку.

6. Картки послідовно пронумеровано натуральними числами від 1 до 2n + 1. Яку найбільшу кількість карток можна дібрати так, щоб жоден з номерів не дорівнював сумі якихось двох інших номерів карток?

7.  Знайти всі трійки натуральних чисел, що мають таку властивість: добуток будь-яких двох з цих чисел у сумі з 1 ділиться на третє число.

8. Усередині прямого кута дано точку А. Побудувати рівносторонній трикутник, однією з вершин якого є точка А, а дві інші лежать на сторонах кута (по одній на кожній стороні).

9. Квадрат 8x8 складений із кісточок доміно 1х2. Довести, що якісь дві з них утворюють квадрат 2x2.

10.  Знайти два звичайних дроби - один зі знаменником 8, а другий зі знаменником 13 - такі, що вони не дорівнюють нулю, а модуль їх різниці найменший.

11. Довести, що довільні 10 точок на площині є кінцями п'яти відрізків, що не перетинаються.

12. У краплину води, яка містить 1000 бактерій, потрапив один ві­рус. Щохвилини кожен вірус знищує одну бактерію, після чого кожна бактерія ділиться на дві бактерії, а кожен вірус - на два віруси. Чи правильно, що через деякий час не залишиться жодної бактерії?           ,

13. Є 100 різнокольорових перлин. Відомо, що перлин кожного ко­льору може бути не більше 50. Довести, що з цих перлин можна скла­сти намисто, у якому будь-які дві сусідні перлини мають різний колір.

14. Що більше: 2³⁰⁰ чи 3²⁰⁰?

15. Чи існують такі натуральні а і b, що аb(а - b) = 45 ?

16. Пряму пофарбовано в два кольори. Довести, що на ній знай­деться відрізок ненульової довжини, середина і кінці якого пофарбо­вано в один колір.

17. Чи можна розташувати по колу 15 цілих чисел так, щоб сума будь-яких чотирьох чисел поспіль дорівнювала 1 або 3?

18. На скільки частин можна розбити площину чотирма прямими? Розглянути всі можливі випадки і для кожного виконати рисунок.

19. Свіжі ягоди малини містять за масою 90 % води, а сухі - 12 %. Скільки вийде сухих ягід із 11 кг свіжих?

20.  Для  нумерації сторінок  підручника використали  312  цифр. Скільки сторінок у цій книжці?

21. Пофарбований куб із ребром завдовжки 12 см розрізали на куби­ки із ребром 2 см. Скільки   кубиків мають пофарбовані три грані, скільки - дві та у скількох пофарбована лише одна грань? Скільки кубиків не пофарбовані зовсім?

22. Знайти раціональні розв’язки рівняння з невідомим  х:    | 5∙|-5∙|х| + 5 |-5| = 25;

23.                Знайти всі набори ненульових цифр а, b, с, для яких виконується рівність a,b = а + b + с (тут а,b означає число "a цілих і b десятих").

24.  Нехай на Марсі розташовано 2000 країн і для кожної їхньої чет­вірки принаймні одна з цієї четвірки ворогує з трьома іншими. Знайти найменшу можливу кількість країн, що ворогують з усіма одразу.

25.  Знайти усі розв’язки рівняння з невідомим  х, якщо  а – параметр(довільне число):

-2а - 4aх = 6а - 4.  /

26. Вказати усі значення  параметра  а, при яких два рівняння з невідомим  х мають корені, різниця яких 5:     8-5а -7|х|   = 15-5а  і  2а- 4|х|  = 4а-7.

27. Вказати усі значення  параметра  а, при яких два рівняння з невідомим  х мають корені, частка яких рівна 4:     4-5а-3х =7-5а  і  8,4а-2х =5а-7.

28. Вказати усі такі значення  параметра  а, при яких рівняння з невідомим  х має тільки натуральні корені:     4а|х|  -2х =-16а+8; 

29.  Знайти усі такі значення  параметра  а, при яких на розв’язок  рівняння виконується умова:  1 < 5 – 2∙|х|  < 3:           -7х + 5а -14  = -2а;  

30. Шахіст зіграв 40 партій у шахи й отримав у сумі 25 очок (кожна перемога - це 1 очко, нічия - 0,5 очка, поразка - 0 очок). Знайти різницю між кількістю його перемог та кількістю його поразок.

31.  За допомогою циркуля та лінійки побудувати бісектрису даного кута за умови, що в середині кута не дозволяється позначати ніякі окремі точки (дозволяється провести лише саму бісектрису).

32.  Маємо два баки ємністю по 10 л із соляним розчином концент­рації 10 % та 15 % і посудини ємністю 3 л, 4 л, 5 л. Як за допомогою переливань отримати 1 л 12%-го соляного розчину?

33.  Чи можна розмістити в таблиці розміром 3x4 числа -1 та 1 так, щоб усі 7 сум чисел, що стоять в одному рядку або в одному стовпчи­ку, були різними?

34. Дано смужку 1x17, клітинки якої пронумеровано послідовними натуральними числами. Двоє учнів грають у гру, по черзі роблячи свої ходи. За один хід треба закреслити одну довільну клітинку в смужці або деякі дві послідовні, де перша з них парна. Програє той, хто не може зробити хід. Хто може забезпечити собі виграш - той, хто почи­нає гру, чи його суперник? Вкажіть виграшну стратегію.

35. Сума трьох трицифрових чисел ааb, аbа, bаа дорівнює 1998. Знайдіть усі трійки таких чисел.

36.Чи буде число 11... 1155...556 (1998 одиниць та 1997 п'ятірок) ква­дратом цілого числа?

37.Через точки дотику вписаного в трикутник кола зі сторонами цього трикутника провели прямі, які відповідно паралельні бісектри­сам протилежних кутів. Довести, що ці прямі перетинаються в одній точці.

38.На дошці розміром 4x4 грають двоє. Ходять по черзі, і кожний гравець своїм ходом зафарбовує одну клітинку. Кожну клітинку мож­на зафарбувати один раз. Програє той гравець, після чийого ходу утвориться квадрат 2 х 2, що складається із зафарбованих клітинок. Хто з гравців може забезпечити собі виграш - той, хто починає, чи його суперник? Відповідь обґрунтуйте.

39.  Дано 1999 чисел. Відомо, що сума будь-яких 99 з цих чисел до­датна. Довести, що сума всіх чисел є додатна.

40.  Чи можна в клітинки таблиці 7x7 записати цілі числа так, щоб сума чисел у будь-яких квадратах 2 х 2 і 3 х 3 таблиці ділилась на 1999; а сума усіх чисел таблиці не ділилась на 1999?

41.                  Чи існує 2000-значне число n, яке є квадратом натурального чи­сла і в його десятковому записі принаймні 1999 п'ятірок?

42.     Кожну точку прямої зафарбовано у синій або червоний колір. Довести, що на цій прямій знайдуться три різні точки: А, В, С, що ма­ють один колір і такі, що точка С - середина відрізка АВ.

43.    На дошці в рядок записано 1999 натуральних чисел. Довести, що можна витерти одне з них так, що сума чисел, які залишилися, буде парною. Чи правильно це буде для 2000 чисел?

44. Запишемо рівність т - п = к, в якій т, п, к - натуральні числа, причому т - п'ятизначне число. Довести, що в такому запису при­наймні одна цифра повториться.

45. Два покупці купили відповідно 5 та 31 однакових блокнотів. Перший дав касирові 5 гривень, другий — купюру в 25 гривень. Касир помилково дав здачу першого другому, а другого — першому. Визначити, скільки коштує блокнот і яку суму перший покупець повинен передати другому?

46.  Добуток п'яти послідовних натуральних чисел у 120 разів більший від числа аbаbаb. Знайти ці числа.

47.  Добуток трьох послідовних непарних чисел у 5 разів менший від числа bаbаbа. Знайти ці непарні числа.

48.  У трицифровому числі закреслили середню цифру. Отримане двоцифро­ве число в 6 разів менше даного трицифрового. Знайти це трицифрове число.