Багатокутні числа

Натуральний ряд чисел починається з 1, а всі інші числа отримуємо додаванням до попереднього числа по одиниці. Природно прийти до думки скласти таку числову послідовність, яка починається з одиниці і утворює наступні числа додаванням до попереднього числа по 2, по 3, по 4 і так далі…

Таким чином утворюються послідовності чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ……  n …..

1, 3, 5,  7,  9,  11, 13, 15, 17, …. 2n-1….

1, 4,  7, 10,  13, 16, 19, 21, ….. 3n-1….

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, …..4n-1….

і так далі.

Знайдемо суми одного , двох, трьох, чотирьох  і так далі…

Утворяться такі послідовності:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …..  трикутні числа.

1, 4, 9, 165,25, 36, 49,…..  квадратні числа.

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, …. п’ятикутні числа.

1,  6, 15, 28, 45, 66, 91, … шестикутні числа.

і так далі

Ці числа зустрічаються у піфагорійців (VI в. до н. е.) і потім у подальших грецьких математиків (Ератосфен, Гіпсікл). Особливо детально вивчали їх математиків перших століть  нашої ери: Нікомах, Теон Смірнській (II в.) і їх сучасники. Цим захоплювався і батько грецької алгебри Діофант III-IV ст. н. е.), що написав про них цілу книгу, що дійшла до нас.

Незалежно від грецьких математиків багатокутними числами займалися індійські і китайські математики.

Грецькі математики знайшли різні властивості багатокутних чисел, які в більшості випадків доводилися на фігурах.

Теорема. Довести, що довільне восьмикутне число рівне сумі шести (n - 1)-х трикутних чисел плюс n.

Правильність теореми видно з таблиці: друге восьмикутне число 8 = 6∙1 + 2; третє: 21 =6∙3 + 3, четверте: 40 = 6 ∙ 6 + 4,  п'яте:  65 = 6∙10 + 5 і так далі.

Для доказу досить побудувати креслення і сказати, за зразком індійського керівництва: дивися!

Дуже важкі теореми про багатокутні числа доводили П’єр Ферма (XVII в.), Леонард Ейлер і Лагранж (XVIII в.), Карл Гаус (XIX в.) і ін. Ці теореми грали і грають велику роль у вищій арифметиці.

Найважливішою з цих теорем є теорема, яку Ферма назвав «золота»: всяке натуральне число є або трикутне або сума двох або трьох трикутних чисел; або квадратне або сума двох, трьох або чотирьох квадратних чисел; або п'ятикутне або сума двох, трьох, чотирьох  або п'яти п'ятикутних чисел і так далі. Ферма не міг дати доведення цієї теореми, що слідує, за його словами, «з багатьох глибоко прихованих таємниць чисел». Пройшовши через руки Ейлера, Лагранжа, Лежандра і Гауса, теорема Ферма була повністю доведена французьким математиком Коші (1813-1915 рр.). З цієї теореми слідує багато важливих    властивостей а гіпотез теорії чисел.

Зазначимо, що в європейській математиці зустрічаються ще фігурні числа, цими числами у європейських математиків називалися коефіцієнти членів ступенів бінома (а+b)ⁿ  при n = 1, 2, 3, 4... , тобто числа з трикутника Паскаля.

Трикутні  числа

Як відомо,   трикутними   називаються   числа,   утворені  шляхом   послідовного  підсумовування  чисел натурального   ряду,   тобто   числа 

1=1                                                     1    3   6    10     15    21

1+2 =3                                                   2   5    9     14     20

1+2+3= 6                                                 4   8    13     19     

………………                                           7    12   18

1+2+3 + …… + n = 0,5n(n+1)                   11    17

………………………………………..          16

Трикутне число рівне половині добутку двох сусідніх чисел натурального ряду, тобто Т_n = 0,5n(n+1).

Позначають трикутні числа таким чином:

Т₁ = 1,  Т₂ = 3,  Т₃ = 6, Т₄ = 10, Т₅ = 15, Т₆ = 21, Т₇ = 28, Т₈ = 36, Т₉=  45, Т₁₀ =  55, Т₁₁ = 66, Т₁₂ = 78, Т₁₃= 91, Т₁₄ = 105, … , Т_n = 0,5n(n+1), …

Трикутні числа володіють безліччю цікавих властивостей.

Так, сума двох послідовних трикутних чисел рівна квадратному числу

Т_n-1   +  Т_n = 0,5n(n-1) + 0,5n(n+1)  = 0,5n² + 0,5n² + 0,5n - 0,5n =  n².               (1)

Або  

Т_n =  n²  – Т_n-1.

а їх різниця

Т_n+1   –  Т_n = 0,5n(n-1) - 0,5n(n+1)  = 0,5n² – 0,5n² + 0,5n - 0,5n =  n.                      (2)

Або  

Т_n =  Т_{n -1}  +  n  .

Квадратні числа

Квадратні числа  числами вважають результат множення натурального числа на самого себе, іноді цю дію означають, як  другу степінь (квадрат) натурального числа. Приклади таких чисел:

К₁ = 1,  К₂ = 4,  К₃ = 9, К₄ = 16, К₅ = 25, К₆ = 36, К₇ = 49, К₈ = 64, К₉=  81, К₁₀ =  100,

К₁₁= 121,  К₁₂ =144, К₁₃= 169, К₁₄ =196, … , К_n = n∙n = n², …

 1       4      9     16    25

 2       3      8     15    24

 5       6      7     14    23

10     11    12    13    22

17      18    19   20    21

Зв'язок між трикутними та квадратними  числами

Трикутні і квадратні числа зв'язані між собою багатьма співвідношеннями. Вкажемо тільки наступні, знайдені нами залежності:

3×Т_n – Т_n-1   + 1= (n + 1)²  = К_n+1                                  (3)

2×Т_n×Т_2n  /  Т_2n-1    = n²  = К_n                                   (4)

Т_2n(n+1)  /  Т_n    = (2n + 1)² = К_2n+1                              (5)

Із формули (5), наприклад, при n = 5 маємо:

(  Т₆₀   / Т₅  )- 1 = 11².

Широко відома так звана формула Діофанта

8×Т_n  + 1 = (2n + 1)²,

або     

Т_n = 0,125((2n + 1)² -  1) = 0,125К_2n+1 – 0,125   (6)

Здавалося б, трикутні числа та квадрати взаємозв'язані вельми просто. Але знаменитий математик Л. Ейлер (1707- 1783) поставив таке завдання: знайти формулу для трикутних чисел, що одночасно є квадратами. Що такі числа є, легко переконатися. Так, вже Т₁ = 1 = 1², Т₈ = 36 = 6².

А далі?  Ейлер   дав    формулу   для    отримання   квадратних   чисел (піднесену нами в квадрат):

К_n  = ((3 + 2^1,5)ⁿ –  (3 –2^1,5)ⁿ )² × 2^-2,5                    (7)

При n =1 і n = 2 з неї отримуємо вже відомі нам числа 1 і 36, при n = 3 маємо К₃  = 3², при n = 4,  К₄  = = 204² і т.д.

Формула (7) здалася Ейлерові дуже складною, і він запропонував іншим ученим спростити її або знайти іншу, простішу, але висловив при цьому припущення, що це, очевидно, найпростіша зі всіх можливих формул. Мабуть, це так і є, тому що до цих пір ніхто не запропонував більш простій залежності.

Про представлення  трикутних     чисел    квадратами

А що можна сказати про суму трьох  і чотирьох послідовних трикутних чисел?

Чи може така сума бути квадратом? Це завдання, не дивлячись на її простоту, до цих пір не ставилося. Тим часом такі трійки і четвірки трикутних чисел існують. Так, маємо трійки послідовних трикутних чисел:

Т₅ + Т₆ + Т₇ = 8².

Т₁₄ + Т₁₅+ Т₁₆ = К₁₉ = 19²,

або

105 + 120 + 136 = 361 = 19²

Т₆₃ + Т₆₄ + Т₆₅ = К₇₉ = 79²

Т₁₅₂ + Т₁₅₃ + Т₁₅₄ = К₁₈₈ = 188² .

Можна відзначити, що квадратні числа, що є одночасно сумою трьох послідовних трикутних чисел, повинні бути також виду 3Т_n + 1.

Тому

Т_n-1   + Т_n  +  Т_n+1   = 3Т_n + 1.

Існують і четвірки послідовних трикутних чисел, в сумі ті, що дають квадратне число. Наприклад:

Т₅ + Т₆ + Т₇  + Т₈ = К₁₀  = 10²

Т₃₉ + Т₄₀ + Т₄₁ + Т₄₂ = К₅₈ = 58²

Т₂₃₇ + Т₂₃₈ + Т₂₃₉  + Т₂₄₀ = К₃₃₈  = 338²

Т₁₃₉₁ + Т₁₃₉₂ + Т₁₃₉₃  + Т₁₃₉₄ = К₃₃₈  = 1970²

Ці формули, втім, як і попередні, можуть бути узагальнені, наприклад, таким чином:

Т_3к-1 + Т_3к + Т_{4к -1} + Т_4к = (5к)² = (3к)² +(4к)² .         (8)

При к =1 звідси маємо

Т₂ + 2Т₃ + Т₄ = 5² або 3 + 6 + 6 + 10 = 25 = 5²,

при к=2 отримаємо приведену раніше формулу,  при к = 7 маємо

Т₂₀ + Т₂₁ + Т₂₇ + Т₂₈ = 35²

і т.д.

Звернемо увагу на праву частину формули (8). Вона відображає факт, що вже наголошувався (див. формулу (1)): сума двох послідовних трикутних чисел рівна квадратному числу. Але таким чином знаходження загальної формули для четвірок трикутних чисел виявляється безпосередньо взаємозв'язано з піфагоровими числами! А саме: якщо піфагорійці знайшли тотожність, що охоплює трійки чисел, в яких числові значення катета і гіпотенузи є сусідніми числами в натуральному ряду:

(2n + 1)² + (2n²  + 2n)² = (2n² + 2n + 1)²                   (9)

де n = 1,2,3,4      то нам треба знайти піфагорові трійки, у яких послідовними числами є величини катетів, т. е необхідно знайти числа, що задовольняють рівнянню а² + (а + 1)² = с².

Такі трійки піфагорових чисел є. Ось вони:

3² + 4²=5²,

20² + 21²=29²,

119²+120²=169²

і т.д.

    Формула для знаходження квадратних чисел, що є      сумою  двох   послідовних   квадратних чисел, має наступний вигляд:

С_n = 2 ^-1,5×((1+ 2^0,5)^2n-1 – (1- 2^0,5)^2n-1)                                                (10)

Числова послідовність, що виходить звідси при n  = 1,2,3         така:

1, 5, 29, 169, 985, 5741 ... .   (11)

А формула для знахождення всіх четвірок послідовних трикутних чисел, в сумі тих, що дають квадратне число, така:

К_n = ( 2 ^-0,5×((1+ 2^0,5)^2n-1 – (1- 2^0,5)^2n-1))²                              (12)

Числова послідовність сум таких четвірок має вигляд:

2², 10²,  58², 338², 1970²,11482²  ….                   (13)

Відзначимо ще, що для всіх трьох послідовностей, що розглядаються тут, описуються формулами (7), (10) і (12), справедливе одне і те ж рекурентне співвідношення

а_n+1 = 6а_n – а_n-1,

причому для послідовності 1, 6, 35, 204, 1189..., загальний член якої описується формулою Ейлера (7)

а_о = a₁ =1,

для послідовності (11)

а_о= a₁ =1

 і  для послідовності (13) (але без піднесення кожного члена в квадрат)

а_о = a₁ =2.

Трійки трикутних чисел,

Т₅ + Т₆ + Т₇ = 8².

Т₁₄ + Т₁₅+ Т₁₆ = К₁₉ = 19²,

Т₆₃ + Т₆₄ + Т₆₅ = К₇₉ = 79²

Т₁₅₂ + Т₁₅₃ + Т₁₅₄ = К₁₈₈ = 188²,

є членами числової зворотної послідовності

 1, 2, 8, 19, 79, 188, 782...

Будь-який член цієї послідовності, що стоїть на непарних місцях, можна знайти по формулі

К_n = 4^-1×6^-0,5(39 + 16×6^0,5)(5 + 2×6^0,5)ⁿ – (39 – 16×6^0,5)(5 – 2×6^0,5)ⁿ )                    (14)

де n = 0, 1, 2, 3...

Будь-який член послідовності, що стоїть в ній на парних місцях, знаходиться по формулі

К_n = 4^-1×6^-0,5(9 + 4×6^0,5)(5 + 2×6^0,5)ⁿ – (9 – 14×6^0,5)(5 – 2×6^0,5)ⁿ )                   (15)

де n = 0, 1, 2, 3...

        

Формулі (14) відповідає рекурентне співвідношення

а_2n+3 = 10а_2n+1 –  a_2n-1.

a₁ = 1,  a₃  = 8, а₅ = 79, а₇  = 782;   а₉ =  7741

Для чисел, що стоять на парних місцях послідовності, рекурентне співвідношення має вигляд:

а_2n+4 = 10а_{2n + 2}  – а_2n,

а₂ = 2, a₄ = 19, а₆ =188,…

Отже, знайдені формули для обчислення піфагорових чисел, що є послідовними квадратами, яким рівні катети прямокутного трикутника, а також трійки і четвірки послідовних трикутних чисел, що в сумі мають квадратне число. Видно, груп по 5 і по 6 послідовних трикутних чисел квадратами бути не можуть. Але це питання поки залишається відкритим.

Повертаючись до формули Діофанта (6), відзначимо, що нам вдалося її узагальнити таким чином:

(kn + 1)² = 8(k-1)Т_n+((k-2)n – 1) ².  (16)

Дана формула дозволяє представити будь-яке квадратне число у вигляді суми меншого квадрата і кратного трикутному числу числа.

З (16) якщо k = 1 маємо тривіальну тотожність

(n+1) ² =  (- n - 1)² ,

 при k =2 отримуємо залежність Діофанта (6),

при k =3 маємо

(3nа + 1)² = 16T_n + (n - 1)²,

при к = 4

(4nа + 1)² = 24T_n + (2n - 1)²

і т. д.

Відповідно до формули (16) квадратні числа можуть мати різне число представлень у вигляді вищезгаданої суми. Причому якщо kn - просте, то число представлень рівне лише двом. Якщо ж kn складене число, то число уявлень залежить від числа дільників kn. Наприклад, якщо kn = 35, то маємо наступні розкладання:

(1×35+1)²=8.0.Т₃₅+36²,

(5×7+1)²=8.4Т₇+20²,

(7×5+1)²=8×6 Т₅+24²,

(35×1 + 1)²=8×34Т₁+32².

Як   бачимо,   при   розкладаннях   враховується   і   одиниця.

Для простих kn це видно особливо наочно. Так, для

kn = 5 маємо:

(5+1)² = 6²  = (1×5+1)² = 8×0×Т₈+ 6²  = (5×1 + 1)² = 8×4Т₁ +  2².

На закінчення вкажемо на наступне. Якщо розглядати не тільки квадратні, а будь-які натуральні числа у вигляді уявлення їх сумою трикутних чисел і при цьому не вимагати, щоб трикутні числа були послідовними, то приходимо до знаменитої проблеми теорії чисел, якою займалися Ферма, Ейлер, Лагранж та інші. Ці математики виявили і показали, що будь-яке число можна представити у вигляді суми n-кутних чисел, що складається не більше ніж n доданків. Зрозуміло, що для представлення квадратного числа достатньо суми трьох трикутних чисел.