Текстові задачі на кмітливість

Уявіть себе людиною, що вміє складати латинські та магічні квадрати і використовує їхні властивості на практиці, наприклад при дослідженні різних властивостей сортів пшениці.  Вам необхідно проявити кмітливість і всі свої здібності в утворенні числових квадратів з магічними сумами.
Задача для розминки:

Нагадуємо способи утворення магічного квадрату 3х3 один одному.

Розташувати натуральні числа від 1 до 9 в магічний квадрат 3х3 можна 8 різними способами.  Знайдемо магічну суму для магічного квадрату 3х3:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3 = 45:3 =15.

Утворимо суми з трьох доданків:

9+5+1 = 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3  = 7+6+2 = 7+5+3 = 6+5+4 =15

У магічному квадраті 3х3 магічною постійною є число 15, отже,  повинні бути рівні сумі трьох чисел по 8 напрямам: по 3 рядкам, 3 стовпцям і 2 діагоналям. Оскільки число, що стоїть в центрі, належить 1 рядку, 1 стовпцю і 2 діагоналям, воно входить в 4 з 8 трійок, що дають в сумі магічну постійну. Таке число тільки одне: це 5. Отже, число, що стоїть в центрі магічного квадрата 3х3, вже відоме: воно рівне 5.

Розглянемо число 9. Воно входить тільки в 2 трійки чисел:  9+5+1 = 9+4+2 = 15. Ми не можемо помістити його в кут магічного квадрату, оскільки кожна кутова клітка належить 3 трійкам: рядку, стовпцю і діагоналі. Отже, число 9 повинно стояти в клітинці, що межує тільки із однією стороною  квадрата в її середині. Із-за симетрії квадрата байдуже, яку із сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом 5, що стоїть в центральній клітці. По обидві сторони від дев'ятки у верхньому рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яке з цих двох чисел опиниться в правому верхньому кутку і яке в лівому, знову – таки не має значення, оскільки одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному віддзеркаленні. Решта кліток заповнюється автоматично. Проведений  нами спосіб побудови магічного квадрата 3х3 не єдиний. З іншими способами  познайомимося трохи пізніше.

Завдання, які учні обговорюють в парах:

Запитання:

1. Що необхідно знайти для того, щоб утворити магічний квадрат 3х3?

Відповідь: Спочатку треба знайти магічну суму для магічного квадрату 3х3:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3 = 45:3 =15.

Потім утворити суми з трьох доданків:

9+5+1 = 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3  = 7+6+2 = 7+5+3 = 6+5+4 = 15

2. Як утворити класичний магічний квадрат 3х3?

Відповідь: Для цього накресліть порожній клітинковий  квадрат, розміром 3х3. Випішіть підряд натуральні числа : 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9. Заповніть  кожну клітинку якоюсь однією цифрою, використовуючи всі цифри, окрім 0, так , щоб  сума трьох чисел, що розташовані по горизонталям,  і  сума трьох чисел, що розташовані по вертикалям,  і  сума трьох  чисел, що розташовані по діагоналям була однакова.

Обговорення  отриманих  відповідей між учнями.

Зрозуміло, що для того аби знайти число, яке рівне  сумі чисел по рядкам,  треба додати усі цифри та отримати 45. Якщо це число розділити на 3, то отримаємо 15. Отже, сума по горизонталях, по вертикалям, по діагоналям рівна 15. Середнє серед цифр 1, 2, 3,  4, 5, 6, 7, 8, 9 - це 5, тому воно повинно стояти в центральній клітинці. Помітимо, що числа рівновіддаленні від числа 5 – це числа однакової парності  і мають таку властивість: 1+ 9 =10, 2+8 =10, 3 + 7 =10, 4+ 6 = 10. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти непарні цифри.

Проблемне запитання: Чому в кутових клітинках магічного квадрату 3х3 повинні стояти тільки парні числа?

Відповідь: В кутових клітинках повинні  стояти тільки парні числа, бо у противному випадку не утвориться магічний квадрат. Адже якщо цифра 7 і 9 опиняються  або на одній діагоналі, або в одному стовпчику, тоді   порушуються магічна сума  на цій діагоналі або  в цьому стовпчику(адже 9+7=16, що не рівне 15).

Знайшовши одне правильне розташування чисел в магічному квадраті можна отримати ще вісім  таких квадратів за допомогою повороту навколо центральної клітинки.

                                   

	5

4		2
	5
8		6

4	9	2
3	5	7
8	1	6

                                                                         

	9
3	5	7
	1

   

Отже, ми виявили деякі закономірністі  утворення  класичного магічного квадрату 3х3.   

2	7	6		2	9	4		4	3	8		4	9	2
9	5	1		7	5	3		9	5	1		3	5	7
4	3	8		6	1	8		2	7	6		8	1	6
6	1	8		6	7	2		8	1	6		8	3	4
7	5	3		1	5	9		3	5	7		1	5	9
2	9	4		8	3	4		4	9	2		6	7	2

Завдання.

1. Продовжте послідовності чисел  на три числа:

i)        123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, ... Чи вірне таке продовження: 161, 718, 192?

ii)      100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …  Чи вірне таке продовження: 289, 324, 361?

iii)    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Чи вірне таке продовження: 144, 233, 377?

iv)    1211, 2211, 1222, 1111, 2222, … Чи вірне таке продовження:  1111, 1222, 2211?

v)      Самостійно створіть закон утворення послідовності чисел і запишіть його…

2. Продовжте послідовності на три букви:

i)        П, В, С, Ч, …  Чи вірне таке продовження:  П, С, Н. (дні тиждня)?

ii)      С, Л, Б, К, …  Чи вірне таке продовження:  Т, Ч, Л. (назви місяці)?

iii)    К, О, Ж, З, …  Чи вірне таке продовження:  Г, С, Ф (кольори веселки)?   

iv)    О, Д, Т, Ч, … Чи вірне таке продовження:  П, Ш, С (назви цифр)?

v)      Самостійно створіть закон утворення послідовності  букв і запишіть його…

3. Розмістити в таблиці 3х3,  в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі  відповідно 3 та 4,  числа 1, 2 та від 5 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих.

3		4

4. Розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 7 та 8,  числа від 1 до 6 і 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума  чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найменшим із можливих.

7		8

5. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 21 до 29 так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова.

6. Циферблат годинника треба  розрізати на 4 частини так, щоб суми чисел кожної частини були чотирма послідовними числами 18, 19, 20, 21.

7. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: 1) по усіх рядках, по усіх колонках сусідні(послідовні) числа не  стоять поряд; 2) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні ; 3) сума чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні.

8. Розмістити в таблиці 3х3  числа від 1 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була різна; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих; 3) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні і найбільші із можливих; 4) суми чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні  і найменші із можливих.

9. Заповнити таблицю 1х21, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5 та дотримуючись таких умов: 1) будь-які дві сусідні цифри в таблиці не рівні; 2) всі двоцифрові числа, що утворені двома сусідніми цифрами, відрізняються між собою, якщо читати їх зліва направо.

10. Розставте числа від 1 до 8 у зафарбованих клітинках таблиці 3х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у клітинках, які мають спільну вершину.

11. Розставте двоцифрові числа, які утворені з цифр 1, 2,  3,  4, 5 у клітинках таблиці 4х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у  клітинках, які мають спільну сторону і  будь-яке двоцифрове число не містило однакових цифр.

12. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 3, 6, 9, 12, …, 27  так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках  була однакова.

1.      Яка цифра використана в слові «один»?

2.      Мама записала рівність: 17+13-19=11. Тато записав рівність: 19+11-17=13. Бабуся склала рівність: 11+19-13=17. Яку рівність склав мудрий дідусь?

3.      СЛОВ,О + СЛОВ,О=ПІСНЯ. Яка цифра відповідає літері С?

          Обґрунтуйте розв’язки задач.

1.          На дошці написано число 1. Кожну секунду до числа на дошці додають суму його цифр. Чи може через деякий час на дошці з’явитися число 123456?

2.          175 Шалтаїв коштують дорожче, ніж 125, але дешевше, ніж 126 Болтаїв. Доведіть, що на трьох Шалтаїв і одного Болтая карбованця не вистачить.

3. Розв’язати ребус на додавання двох слів КАФТАН, в якому різним буквам відповідають різні цифри, а однаковим буквам відповідають однакові цифри:

КАФТАН

КАФТАН

ТРИШКА

4.          Розріжте  прямокутник 3х9 на 8 квадратів.

5.  Чи можна помістити у квадрат 5х5:   різні  4-клітинкові фігурки;   б) рівні 5-клітинкові фігурки?

6.  Чи існує два послідовних натуральних числа, сума цифр кожного з яких ділиться на 7?

7. Є 5 монет, з яких три справжні, одна фальшива, що важить більше від справжньої, і одна – фальшива, що важить менше від справжньої. За три зважування визначить обидві фальшиві монети.

8. Скільки існує двоцифрових  натуральних чисел, обидві цифри яких розташовані у спадаючому порядку?

9. Є два пісочних годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти цей час за допомогою  даних годинників?

10.  В ряд покладено картки, на яких написано числа 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Дозволяється взяти декілька карток, що лежать підряд і переставити їх у зворотному порядку.  Чи можна за три таких операції добитися розміщення 1,2,3,4,5,6,7,8,9?

Задачі для самостійних досліджень.

1.Скільки точок перетину можуть мати чотири прямі, що не співвпадають? Замалювати кожний із можливих випадків. Скільки трикутників може утворитися?

2.Зобразити можливі випадки перетину п’яти прямих в чотирьох точках. Скільки трикутників  може утворитися? Замалювати кожний можливий випадок.