Формули скороченого множення.

Сума та різниця степенів двох цілих виразів

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається  на множники на множині цілих многочленів.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

n² – 4 = n² – 2² = (n – 2)(n + 2);

a² – 36 = a² – 6² = (a – 6)(a + 6);

                              64 - b²  = 8² – b² = (8–b)(8 +b).

1 – a⁶ =  1² – (a³)² = (1 – a³)(1 + a³).

Найчастіше використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.

Розв’яжемо рівняння способом розкладання на множники:

x⁴ - (2 - x²)² = 0

Використаємо різницю квадратів a² – b² = (a–b)(a+b) і розкладемо на множники ліву частину рівняння:

(x² - 2 + x²)(x² + 2 - x²) = 0;  

 (2x² - 2) • 2 = 0

4(x² - 1) = 0;   

(x -1)(x + 1) = 0;   

x – 1 = 0;    x₁ = 1

x + 1 = 0;    x₂ = -1

Відповідь:x₁ = -1; x₂ =1.

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a–b)(a² +аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a+b)(a² –аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

p³ + g³ = (p + g)(p²  – pg + g²);

8 – a³ =  2³ – a³ = (2 – a)(4 + 2a + a²);

c³ + 8x³ =  c³ + 2³x³ = (c + 2x)(c² - 2xc + 4x²);

1 – a⁶ =  1³ – (a²)³ = (1 – a²)(1 + a² + a⁴);

a³ + c⁶ = a³ +(c²)³  =  (a + c²)(a² - ac² + c⁴);

27 + a³b³ = 3³ + a³b³  = (3 + ab)(9 - 3ab + a²b²);

p³x⁶  + 1 = (px² + 1)(p²x⁴ - px² + 1);

27m³ + n⁶ = (3m + n²)(9m² - 3mn² + n⁴);

a³c³ +27x³ = (ac + 3x)(a²c²   - 3acx + 9x²);

– c⁶ + 27x³ = (3x - c²)(9x² 3xc² + c⁴);

a⁶c⁹ - 27x³ = (a²c³ - 3x)(a⁴c⁶ + 3xa²c³ + 9x²).

а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³+а²b+аb² + b³);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵– b⁵= (a–b)(a⁴+а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴–а³b + а²b² –аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ – bⁿ= (a–b)( a^n-1+а^n-2b + а^n-3b² +… +а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

(a ± b)⁰ = 1;

(a ± b)¹ = a ± b

Квадрат  двочлена:

(a + b)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

4 + 4b + b² = 2² + 2∙2b + b² = (2 + b)²;

49 – 14b + b² = 7² – 2∙7b + b² = (7 – b)²;

64 + 16b + b² = 8² + 2∙8b + b² = (8 + b)²;

400 – 40b + b² = 20² – 2∙20b + b² = (20 – b)²;

4 + 12b + 9b² = 2² + 2∙2∙3b + 3²∙b² = (2 + 3b)².

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

 (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

27 + 27b + 9b² + b³  = 3³ + 3∙3²b + 3∙3b² + b³ = (3 + b)³;

1 + 3m + 3m² + m³  = 1³ + 3∙1²m + 3∙1∙m² + m³ = (1+ m)³ ;

64  – 48c + 12c² – c³  = 4³ – 3∙4²c + 3∙4c² – c³ = (4 – c)³;

8 – 12n + 6n² – n³  = 2³ – 3∙2²n + 3∙2n² – n³ = (2 – n)³ .

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a ± b)⁴ = a⁴ ± 4a³b +6a²b² ± 4ab² + b⁴;

(a ± b)⁵ = a⁵ ± 5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ± b⁵;

(a ± b)⁶= a⁶ ± 6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ± 6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n

аⁿ + bⁿ = (a+b)( a^n-1 - а^n-2b + а^n-3b² -… + а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b = 1, тоді

a²ⁿ⁺¹ + 1= (a + 1)( a^n-1 - а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

а³ + b³+ c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² +c² – аb – bc – ac);

(a + b + c)² = a² + b² +c² + 2аb + 2bc + 2ac.