Розв’язування рівнянь способом розкладу на множники. Формули скороченого множення

7 клас. Алгебра. Розв’язування рівнянь способом розкладу на множники.

1. Розв'язати рівняння, використовуючи  розклад  на множники:

а) x² + x = 0;  64y² - 25y = 0;   0,04z³ -  0,01z = 0;    a³ -  a⁵ = 0;   

 9z³ -  4z = 0;    36a³ - 144a⁵ = 0;   

б) 0,4x² – 6,4 = 0;    0,9y² – 3,6 = 0;    9 – 81z²  = 0;    81y² – y⁴ = 0;    0,16z⁴ – 0,81z²  = 0;   

в) 3x² + 4x = 0;    5y² - 6y = 0;    – 3z³ + 27z = 0;   5y³ - 125y = 0;    – 24z² – 72z = 0;       

г) x³ – 4x = 0;  49y³ – 9y = 0;   4z³ – 25z = 0;  64x³ – 4x = 0;   -27y⁴ – 9y² = 0;   

 0,04z³ – 0,25z = 0; 

д) y⁴ - 49y² = 0;      6,4y⁴ – 12,5y = 0;   x² +2x +1 = 0;   4x² - 4x +1 = 0;      8z⁴ + 27z = 0.

2. Розв'язати рівняння, використовуючи  розклад  на множники:

а) 4x² – 9 = 0;    3,6y² – 2,5 = 0;    1,6z² – 6,4 = 0;     8,1y² – 4,9 = 0;    1,69z² – 25,6 = 0.   

б) 16x² – 25x⁴ = 0;   1,6x² – 4,9x⁴  = 0;    3,6x² – 8,1x⁴  = 0;    

в) – x⁴ + 36x² = 0;    – x³ – 36x⁵ = 0;      4x – 36x³ = 0;

г) x⁴ – x³ + x² – 1 = 0;     m⁵ – m³ + m² – 1 = 0;     

д) x³ – x² – x – 1 = 0;      a³ + 15a² + 75a + 125 = 0;     

е) (x – 2)² = (x – 2) (x + 2);       16x² – (4x -5)² = 15;     

є) (x² +1)² – 4x² = (x – 1)²(x +1)²;     x⁴ – 18x² + 81 = 0;   

ж) (2x -3)² – (2x + 3)² = 12;     a³ – 12a² + 48a – 64 = 0       

 3.Доведіть, що при будь-якому  натуральному значенні змінної  вираз:

а) (m + 1)² – (m – 1)² ділиться на 4;

б) (2m + 3)² – (2m – 1)² ділиться на 8.

в) (k + 2)² – (k - 2)² ділиться на 8;

г) (3m + 1)² – (3m- 1)² ділиться на 12.

д) (4m +3)² – (4n-3)² ділиться на 48;

е) (5k + 1)² – (2k - 1)² ділиться на 7;

є) (5m + 2)² – (5m - 2)² ділиться на 40;

 ж)  (9k + 6)² – (7k - 6)² ділиться на 4;

з) (7k - 2)² – (2k - 7)² ділиться на 5;

и) (7n- 2)² – (2n - 7)² ділиться на 9.

 4. Доведіть, що:

а) (2m – 3)² = (3 – 2m)²;     б) (–2t– 3)² = (3 + 2t)²;    в) (– a – b)(a + b)  = – (a + b)²;

г) (– c – d)³ = – (c + d)³;    д) (m – n)³ = – (m – n)³;    е) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. 

5. Доведіть, що:

а) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc + 2ac;

б) (a – b + c)² = a² + b² + c² – 2аb – 2bc + 2ac;

в) (a – b – c)² = a² + b² + c² – 2аb – 2bc – 2ac;

г) а³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – аb – bc – ac);

д) (a – b)³  + (b – c)³  + (c – a)³  = 3(a – b)(b – c)(c – a);

е) (a + b)³ + (b + c)³ + (c + a)³ = 3(a + b)(b + c)(c + a) + 2(а³ + b³ + c³ - 3abc);

є) (a ± b)⁴ = a⁴ ± 4a³b + 6a²b² ± 4ab² + b⁴;

ж) a² + (а – 1)² + (а(а – 1))² = (а² – а + 1)²;

з) а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³ + а²b + аb² + b³).

6. Відомо, що x + y = 0,  xy = – 4.  Обчислити вирази:

1) yx² + xy²;   y²x⁴ + x²y⁴;   x³ + y³;    x² + y²;

2) x⁴ – y⁴;   (x  + y)³;   (x – y)³;  уx³ + хy³.

7. Використовуючи формули скороченого множення, розкладіть на множники многочлени і знайдіть корені рівняння:    

а) 9 + 24b +16b² = 0;      (4 + a)² – 9 = 0;     (9 – k)² – 25k²= 0; 

б) (1 – n)² – 81n²= 0;      49z² – 100v²;  64a² – 900b²;

в) 4900z⁴ – 2500z²= 0;         y³ + 1000= 0;          8 - 125x³= 0;      

г) m⁴ – 16= 0;         n⁶ – 1= 0;       m⁸ – 1= 0;          x² – y² – zx – zy= 0;      

д) x² – 4 – ax – 2a= 0;       25 - (4t⁴ – 4y² – 1) = 0;        

у) 3a² – 18a + 27= 0;        r³  –  4r + 16 – 4r² = 0;      49x² - (5x + 1)²= 0;      

є) (3 - 2u)² + 2(3 - 2u) + 1= 0;    (2 + t)³  - t³= 0;   (r - 1)³ + (r + 1)³= 0.