Ознака подільності — це алгоритм, який дозволяє швидко визначити, чи є число кратним раніше заданому.
Ознака подільності на 2: Число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто є парною.
Наприклад:
2, 8, 16, 24, 66, 150 — діляться на 2, так як остання цифра цих чисел парна;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не діляться на 2, так яка остання цифра цих чисел непарна.
Ознака подільності на 3: Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.
Наприклад:
471 — ділиться на 3, так як 4+7+1=12, я число 12 ділиться на 3;
532 — не ділиться на 3, так як 5+3+2=10, а число 10 не ділиться на 3.
Ознака подільності на 4: Число ділиться на 4 тоді и тільки тоді, коли дві його останні цифри складають число, яке ділиться на 4. Двозначне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли подвоєне число десятків, складене з числом одиниць ділиться на 4.
Наприклад:
4576 — ділиться на 4, так як число 76 (7·2+6=20) ділиться на 4;
9634 — не ділиться на 4, так як число 34 (3·2+4=10) не ділиться на 4.
Ознака подільності на 5: Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює 0 або 5.
Наприклад:
375, 5680, 233575 — діляться на 5, так як їх останні цифри дорівнюють 0 або 5;
9634, 452, 389753 — не діляться на 5, так як їх останні цифри не дорівнюють 0 або 5.
Ознака подільності на 6: Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3, тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3.
Наприклад:
462, 3456, 24642 — діляться на 6, так як вони діляться одночасно і на 2, і на 3;
861, 3458, 34681 — не діляться на 6, так як 861 не ділиться на 2, 3458 не ділиться на 3, 34681 не ділиться на 2.
Ознака подільності на 9: Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.
Наприклад:
468, 4788, 69759 — діляться на 9, так як сума їх цифр ділиться на 9 (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не діляться на 9, так як сума їх цифр не ділиться на 9 (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).
Ознака подільності на 10: Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на нуль.
Наприклад:
460, 24000, 1245464570 — діляться на 10, так як остання цифра цих чисел дорівнює нулю;
234, 25048, 1230000003 — не діляться на 10, так як остання цифра цих чисел не дорівнює нулю.
Задачі для дослідження властивостей цілих чисел
1. Чи вірно, що:
а) число 55 – 54
+ 53 ділиться на 21;
б) число 9572 – 432 ділиться на 1000?
Дослідження.
а) Перетворимо
даний вираз:
55 – 54 + 53
= 53(52 – 5 + 1) = 53 ∙ 21.
Як бачимо, дане число ділиться на 21.
Як бачимо, дане число ділиться на 21.
б) Перетворимо
даний вираз:
9572 – 432 =
(957 + 43)(957 – 43) = 1000∙914.
Як бачимо, даний вираз ділиться на 1000.
2. Чи вірно, що при кожному натуральному значенні n:
а) (n + 1)2 - (n – 1)2 ділиться на 4;
б) (3n + 2)2 - (3n – 2)2 ділиться на 24;
в) (5n + 3)2 – (5n – 3)2 ділиться на 60?
Дослідження.
а) Перетворимо
даний вираз:
(n + 1)2 - (n - 1)2 = (n + 1 + n - 1)(n + 1 - n + 1) = 2n∙2 = 4n.
Отриманий вираз кратний 4, тобто
ділиться на 4.
б)(3n + 2)2 - (3n - 2)2 = (3n + 2 +3n - 2)(3n + 2 - 3n + 2) = 6n∙4 = 24n.
Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.
Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.
в)(5n + 3)2 - (5n - 3)2 = (5n + 3 + 5n - 3)(5n + 3 – 5n + 3) = 10n∙6 = 60n.
Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.
Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.
3. Чи вірно, що квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів?
Дослідження.
Нехай дано два додатних числа а і b. Знайдемо квадрат їх суми:
(a + b)2 = а2 + 2аb + b2 = (а2 + b2) + 2аb.
Оскільки а і b – числа додатні, величина 2аb – також число додатне, отже, квадрат суми
двох додатних чисел більший від суми їх квадратів.
4. Чи вірно, що квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку?
Дослідження.
Нехай дано два числа n і m. Знайдемо квадрат їх
суми:
(n + m)2 = n2 + 2nm + m2 = 2nm + (n2 + m2).
Величина m2 + n2 додатна при будь-яких значеннях n і m, таким чином, квадрат суми двох
чисел більший від їх подвоєного добутку.
5. Чи вірно, що різниця квадратів двох непарних чисел
ділиться на 4?
Дослідження.
Нехай дано два непарних числа: 2а
+ 1 і 2b + 1.
Знайдемо різницю квадратів цих чисел:
(2а + 1)2 - (2b + 1)2 = (2а + 1 + 2b + 1)(2а + 1 – 2b - 1) = (2а + 2b+ +2)(2а – 2b) = 2(а + b + 1) ∙2(а - b) = 4(а + b + 1)(а - b).
Отриманий вираз кратний 4, отже,
різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4.
6. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних
непарних чисел ділиться на 8?
Дослідження.
Нехай дано два послідовних
непарних числа 2а + 1 і 2а + 3. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:
(2а + 3)2 - (2а + 1)2 = (2а + 3 +
2а + 1)(2а + 3 - 2а - 1) = (4а + 4)∙2 = 4 ∙2(а + 1) = 8(а +
1).
Отриманий вираз кратний 8, отже,
різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.
7. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних
парних чисел на 8 не ділиться?
Дослідження.
Дано два послідовних парних числа:
2а і 2а + 2.
Знайдемо різницю квадратів цих
чисел:
(2а + 2)2 - (2а)2
= (2а + 2 + 2а)(2а + 2 - 2а) = (4а + 2)∙2
= 2(2а + 1) ∙ 2 = 4(2а + 1).
Як бачимо, різниця квадратів двох
послідовних парних чисел на 8 не ділиться, оскільки 2а + 1 – число непарне.
8. Чи вірно, що сума
двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів?
Дослідження.
Нехай дано два послідовних цілих
числа а і а + 1.
Знайдемо їх суму:
а + а + 1 = 2а + 1.
Знайдемо різницю їх квадратів:
(а + 1)2 - а2 = (а
+ 1 + а)(а + 1 - а) = 2а + 1.
Як бачимо, сума двох
послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів.
9. Чи вірно, що непарне число дорівнює
різниці квадратів двох деяких цілих чисел?
Дослідження.
Будь-яке непарне число можна
представити у вигляді виразу 2а + 1. Перетворимо цей вираз:
2а + 1 = 2а + 1 + а2 -
а2 = (а2 + 2а + 1) - а2 = (а + 1)2 - а2.
Як бачимо, непарне число дорівнює
різниці квадратів двох деяких цілих чисел.
10. Чи вірно, що квадрат непарного
числа при діленні на 8 дає в остачі 1?
Дослідження.
Нехай дано непарне число 2а + 1.
Квадрат цього числа дорівнює:
(2а + 1)2 = 4а2 +
4а + 1 = 4а(а + 1) + 1;
число а(а + 1) – парне при будь-яких значеннях а,
тоді число 4а(а +1) –
кратне 8, тобто ділиться на 8. Отже, квадрат будь-якого непарного числа при
діленні на 8 дає в остачі 1.
11. Чи вірно, якщо сума двох
натуральних чисел ділиться на 10, то квадрати цих чисел закінчуюються
однаковими цифрами?
Дослідження.
Якщо квадрати двох натуральних
чисел, сума яких ділиться на 10, закінчуюються однаковими цифрами, то різниця
квадратів цих чисел закінчується цифрою 0, тобто кратна 10.
Нехай дано числа а і b, сума яких кратна 10, тоді:
а2 - b2 = (а + b) (а - b).
Як бачимо, а2 - b2 ділиться на 10, оскільки а + b ділиться на 10. Отже, квадрати
даних чисел закінчуюються однаковими цифрами.
Запитання та задачі
для перевірки знань
1. Знайти цифри а та b так, щоб число з
такими цифрами 32а35717b ділилося на 72.
Відповідь. a =2, b = 6.
2. Знайти цифри а та b так, щоб число з
такими цифрами 62аb427 ділилося на 99.
Відповідь. а = 2, b = 4.
3. Чи вірно, що, якщо
в запису 3*4*1*0*8*2*40923*0*320*2*56 на місце зірочок поставити в будь-якому
місці цифри 0,1, 2, 3, …, 7, 8, 9(кожну один раз), то отримане число ділиться
на 396?
Відповідь. вірно.
4. Приписати до числа19961996 справа три цифри
так, щоб отримане число ділилося на 7, на 8, і на 9.
Відповідь. 040 або
544.
5. Чи вірно, що існує
квадрат натурального числа, що закінчується на цифри 74?
Відповідь: не існує.
6. Чи вірно, що існує
куб натурального числа, що закінчується на цифри 228?
Відповідь: не існує.
7. Чи вірно, що існує
квадрат натурального числа, що складається із: нулів і одиниць, в якому 300
одиниць?
Відповідь: не існує.
8. Чи вірно, що існує
квадрат натурального числа, що складається із: нулів і трійок?
Відповідь: не існує.
9. Чи вірно, що існує
квадрат натурального числа, що складається із: вісімок і шісток?
Відповідь: не існує.
Задачі математичного тренінгу
1.
Знайдіть серед даних чисел ті, які мають тільки два простих дільники: 65;
89; 24; 55; 76; 100; 96.
2.
Знайдіть серед даних добутків ті, які є простими числами: 41∙1, 61∙3, 93∙1, 101∙0,
111∙1, 121∙1.
3.
У даних розкладах на прості множники виправити помилки: 44 = 4∙11; 44 = 2·22; 44=1∙2∙2∙11.
4.
Знайдіть серед даних чисел ті, які розкладаються на рівну кількість простих
множників: 48, 72, 84, 68.
5.
Доведіть, що числа 6256, 1026, 56043 є складеними.
6.
Чи правильне твердження: «Не існує
простих парних числа, тому всі прості числа непарні»?
7.
Чи правильне твердження: «Не існує простих трицифрових чисел, які містять
останню парну цифру»?
8.
Знайдіть кількість дільників числа
23∙34. Запишіть усі дільники числа.
9.
Знайдіть усі парні дільники
числа 22∙33. Запишіть усі парні дільники числа.
10.
Існують непарні дільники числа 23. Запишіть їх.
11.
Знайдіть найменше і найбільше двоцифрове число, яке ділиться на 2 і 3
та містить різні цифри.
12.
Скільки простих дільників має число 23∙32∙52∙72∙11.
13.
Доведіть, якщо число ділиться на 9
націло, тоді воно ділиться на 3.
14.
Доведіть, якщо число ділиться на 8
націло, тоді воно ділиться на 4.
15.
Доведіть, якщо число ділиться на 12
націло, тоді воно ділиться і на 4, і на 3.
16.
Доведіть, якщо число ділиться на 15
націло, тоді воно ділиться і на 5, і на 3.
17.
Доведіть, якщо число ділиться на 24
націло, тоді воно ділиться і на 8, і на 3.
18.
Доведіть, якщо число ділиться на 36
націло, тоді воно ділиться і на 4, і на 9.
19.
Доведіть, якщо число ділиться на 72
націло, тоді воно ділиться і на 8, і на 9.
20.
Чи правильне твердження: «Кожне число, яке ділиться на 24 без остачі, ділиться
на 16»? Чому?
21.
Чи правильне твердження: «Кожне число, яке ділиться на 98 без остачі,
ділиться на 49»? Чому?
22.
Чи правильне твердження: «Кожне число, яке ділиться на 65 без остачі,
ділиться на 13»? Чому?
23.
Чи правильне твердження: «Існує просте число, яке ділиться на 2 і 3 одночасно».
24.
Знайдіть найменше і найбільше двоцифрове число, яке ділиться на 3, 5, 2.
25.
Знайдіть найменше і найбільше трицифрове число, яке ділиться на 3, 5, 2
і містить цифри 0, 5 і 1.
26.
Знайдіть найменше і найбільше чотирицифрове
число, яке ділиться на 7, 11 і 13.
27.
Знайдіть серед двоцифрових чисел те, яке має десять дільників.
28.
Знайдіть усі прості двоцифрових числа,
які можна записати у вигляді 6к+1.
29.
Знайдіть усі прості двоцифрових
числа, які можна записати у вигляді 6к+5.
30.
Чи існує сума чотирьох послідовних натуральних чисел, яка є простим числом?
31.
Чи існує просте число,
для запису якого використовується формула к = 2 n + 2, де n – натуральне число.
32. Доведіть, що трицифрові числа, записані трьома
однаковими цифрами, не є простими числами.
Задачі для домашньої роботи
1.
Доведіть, що із будь-яких трьох
послідовних непарних, починаючи з 7, одне з них ділиться на 3.
2.
Чи існують чотири прості числа m,
n, k,
p, які задовольняють вираз m + n = p – n = k.
3.
Чи існує таке натуральне число m, що вираз m2 + 1 ділиться на m без остачі.
4.
Доведіть, що добуток різниці
та суми двох натуральних чисел 2m і 2n є складеним числом, де
m ≥ n.
5.
Чи сума двох натуральних чисел 6m і 15n є простим числом, де m ≠ n?
6.
Доведіть, що добуток двох
простих чисел не є простим числом.
Немає коментарів:
Дописати коментар