Розклад на множники многочленів

Розклад на  множники 

Розкласти на множники буквений вираз означає, виконати допустимі перетворення  виразу так, щоб у цьому виразі «множення»  була остання арифметична дія. Пропоную вам  уважно переглянути розв'язання  вправ. У цих прикладах використано спосіб винесення спільного множника за дужки. Спробуйте самостійно виносити спільний множник за дужки  і потім перевіряти себе:

5q – 5p = 5(q - p),

ab+ac = a(b+c),

mb-mac = m(b-ac),

m⁵ – m⁷ = 1∙m⁵ – m⁵ ∙ m² = m⁵(1 – m²),

15а + 15b = 15∙(a + b),

7mn + m = 7mn + 1m = m∙(7n + 1),

- 8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8g(p + 3t),

15а + 3а² - 9а³ = 3а( 5 + a – 3a²).

Перевірку правильності виконання завдання можна здійнисти оберненим перетворенням, тобто розкрити дужки, або внести спільний множник в дужки., в результаті чого отримаємо початковий вираз.

Я вимагаю  від своїх учнів усного виконання проміжних дій у вправах такого типу.

Деякі вчителі пропонують також вправи на винесення неспіль­них множників за дужки, маючи на увазі перетворення:

5q – 5p = 5q∙(1- p/q),

ab+ac = ac∙(b/c+1),

mb-mac = ma∙(b/a - c),

m⁵ – m⁷ = 1∙m⁵ – m⁵ ∙ m² = m⁷(1/m² –1),

15а + 15b = 15b∙(a/b +1),

7mn + m = 7mn + 1m = mn∙(1 + 1/n),

- 8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8gp(1 + 3t/p),

15а + 3а² - 9а³ = 3а³( 5/ a²  + 1/a – 3).

Увага! Завдання на розуміння. Виконайте перевірку і знайдіть помилки та виправте їх:

5q – 5p = 5q∙(4- p/q),

ab+ac = ac∙(b/c+с),

mb-mac = ma∙(b/a -а),

m⁵ – m⁷ = 1∙m⁵ – m⁵ ∙ m² = m⁷(1/m² +1),

15а + 15b = 15b∙(a/b – b),

7mn + m = 7mn + 1m = mn∙(1 + 1/m),

- 8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8gp(1 + 3t),

15а + 3а² - 9а³ = 3а³( 5/ a²  + 1 – 3a).

.

Такі перетворення корисні,  і про   них   може  йти  мова  у зв'язку з вивченням дробових виразів.

Я можу запропонувати вам кілька вправ на винесення за дужки  спільного множника для многочленна. Наприклад самостійно подумайте і заповніть прогалини у виразах, які відмічені знаком запитання:

35q – 35p = 35(? - ?),

kb+kc = ?∙(b+c),

mb-mbc = m(b-?c),

m⁸ – m⁹ = 1∙m^? – m^? ∙ m^? = m^? (1 – m^?),

50а + 25b =? ∙(?a + ?b),

70mn + 28m = ?m∙?n + ?∙?m = ?m∙(?n + ?),

- 8pm – 24mt = -8∙?∙p – 8∙? ∙3t = – 8∙?∙ (p + 3t),

125а + 50а² - 75а³ = ?∙а( 5 + ?∙a – 3a²).

3qt – 75wpt = 3∙?(? - ?),

13kb+39kc = ?∙(?∙b+?c),

92mb-46mbc = m(b-?c),

65m⁸ – m⁹ = 1∙m^? – m^? ∙ m^? = m^? (1 – m^?),

50а + 25b =? ∙(?a + ?b),

70mn + 28m = ?m∙?n + ?∙?m = ?m∙(?n + ?),

- 8pm – 24mt = -8∙?∙p – 8∙? ∙3t = – 8∙?∙ (p + 3t),

–125а + 250а² - 500а³ = ?∙а(?+ ?∙a –?a²).

Виконання цих вправ підготує вас до кращого засвоєння найваж­чого способу розкладання многочленів на множники – способу групування, який є природним узагальненням способу винесення спільного множника за дужки.

Так, пояснимо, як розкладається на множники вираз:

а ∙ (b + с) + x∙(b + с) = (b + с)∙(a + x),

а ∙ (w – v) + k∙(w – v) = (w – v )∙(a + k),

а ∙ (m + n) – bx∙(m + n ) = (m + n )∙(a – bx),

c ∙ (b² + pс) – 4x∙(b² + pс) = (b² + pс)∙(c – 4x),

4а ∙ (5b + 3с) + 7x∙(5b + 3с) = (5b + 3с)∙(4a + 7x).

Якщо ви не зможете цього зробити самостійно, то слід пос­тавити вам таке запитання: чи не дорівнює другий вираз першому? Часто цього буває досить, щоб ви зрозуміли, як ми виконували попереднє завдання. Наголошую на тому, що такі перетворення виразів є тотожними, тобто не порушують відомі нам математичні дії, проте вони дають можливість змінювати порядок дій у виразах або зменшувати кількість дій.

Тепер можна запропонувати вам самостійно розкласти на множники вирази:

а ∙ (n + с) + x∙ (n + с) = (? + ?)∙(a + x),

а ∙ (w – v) + k∙ (w – v) = (w – v )∙(? +?),

а ∙ (m + n) – bx∙ (m + n ) = (? + n )∙(a – ?),

c ∙ (b² + pс) – 4x∙ (b² + pс) = (b² +?)∙(? – 4x),

4а ∙ (5b + 3с) + 7x ∙ (5b + 3с) = (?+ ?)∙(? +?).

Розкладання многочлена на множники способом групування, як уже зазначалось, становить для вас значні труднощі, часто не відразу вдається  як слід згрупувати члени даного многочлена – доводиться випробовувати кілька способів групування доти, поки не буде знайдено найраціональніший. Тому ви маєте добре продумати перед тим, які доданки слід групувати, тобто шукати доданки зі спільними множниками.

Для цього пропоную вам таку систему вправ, щоб труднощі наростали повільно.

xm + ху + ау + аm = (xm + ху) + (ау + хm) =  x(m + у) + a(m + у) = (а + х) (m + у).

а² – ху – ау + ах = (а² + ах) – (ау + ху) =  а(а + х) – у(а + х) = (а + х)(а - у).

Наприклад, розглянуту щойно вправу можна виконати так:

а² - ху + ау + ах = (а² - ау) + (ах - ху) = = а(а - у) + х(а - у) = (а - у) (а + х).

Розгляньте складніші приклади:

3 - 6a + z - 2az = 3(1 - 2a) + z(1 - 2a) = (3 +z)(1 – 2a);

10ax - 5bx + 2ay - by = 5x(2a – b) + y(2a - b)  = (5x + y)(2a – b);

4a² – 4az – 3a + 3z = 4a(a – z) – 3(a – z) = (4a – 3)(a – z);

3x² – 3xy + 3y² – 3xy = 3x(x - y) + 3y(y - x) = - 3x(x -y) - 3y(x - y) = 3(x –y)(x – y);

a + a² - a³ - a⁴ = a(1+ a) - a³(1+ a) = (a - a³)(1 + a) =  a(1² - a²)(1 + a) = a(1- a)(1 + a)²;

a³ + a²b - a²c - abc = a²(a +b) - ac(a + b) = (a² - ac)(a + b) = a(a - c)(a + b);

3m - bx + mx - 3b = 3m - 3b - bx + mx =  3(m - b) + x (m - b) = (3 + x)( m - b);

ax + ay - az + nx + ny - nz = ax + nx + ay + ny - az – nz = x(a + n) + y(a + n) - z(a + n) = (a + n)(x + y - z);

a + b – 2 – ax - bx + 2x  = a – ax  + b – bx - 2 + 2x = a(1 - x) + b(1 - x) - 2(1 -x) = (1 – x)(a + b – 2);

2ax + cx - 6ax² - 3cx² + 2ac + c² = 2ax - 6ax² + 2ac + cx - 3cx² + c² =

2a(x - 3x² + c) + c(x - 3x² + c) = (2a + c)(x - 3x² + c);

Увага! Завдання на розуміння. Вкажіть помилку у даному перетворенні многочленів:

a² - ab - 4a + 4b = a(a - b) - 4(a + b) = (a - 4)(a - b);
ax + 3 + 3x + a = ax + a + 3x + 3 =  a(x + 1) + 3(x + 1) = (a + 3)(1 – x);

ac + 6 - bc - a = ac - a + b - bc = = a(c - 1) - b(1 - c) = a(c - 1) - b(c - 1) = (a - b)(c + 1).

Тепер можна запропонувати вам самостійно розкласти на множники вирази способом групування:

ac + ad + 2bc + 2bd;

2ax – 2ay – 3by + 3bx;

x²y – z²x + y²x – z²y;

x² – xy + xz – yz;

a³ + 2 + a + 2a²;

y⁴ + 3 – y – 3y³;

х³ + x – 3xy + 2 + 2х² – 6y;

ab – a + 5 – 5b – 5a² + a³;

4ax + 2ay – az – 4bx – 2by + bz;

6ax + 3bx – 3x + 6ay + 3by – 3y.

Найчастіше використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.

Розв’яжемо рівняння способом розкладання на множники:

x(x- 15) + 3(x - 15) = 0

Винесемо  за дужки спільний множник x – 15, отримаємо:

(x + 3)(x - 15) = 0;

Маємо добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один із множників нульовий, тому прирівняємо до нуля перший та другий множник:

x + 3 = 0;

x₁ = -3 – перший розв’язок;

x - 15 = 0;

x₂ = 15 – другий розв’язок.

 Відповідь: x₁ = -3; x₂ =15.