Задачі комбінаторики для олімпіадного тренажу учнів 7 класів

Задачі комбінаторики для  олімпіадного тренажу учнів 7 класів

1. В магазині "Все до чаю  є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця. Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?

2. В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця та  4 чайні ложки. Скількома способами можна купити комплект з чашки, блюдця та ложки?

3. В Країні Чудес є три міста: А, Б і В. З міста А в місто Б ведуть 6 доріг, а з міста Б у місто В – 4 дороги . Скількома способами можна проїхати від А до В?

4. В Країні Чудес є чотири міста: А, Б і В, Г і декілька нових доріг. Скількома способами можна тепер добратися з міста А в місто В?

5. В магазині "Все до чаю' , як і раніше, продається 5 чашок, 3 блюдця та 4 чайні ложки. Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?

6. Назвемо натуральне число "симпатичним", якщо в його запису зустрічаються тільки непарні цифри. Скільки існує 4-цифрових "симпатичних" чисел?

7.  Монету кидають тричі.    Скільки різних послідовностей орлів та решок можна при цьому отримати?

8. Кожну клітинку квадратної таблиці 2x2 можна пофарбу­вати в чорний або білий колір. Скільки існує різних роафарбувань цієї таблиці?

 9. Скількома способами можна заповнити одну картку в ло­тереї "Спортпрогноз"? (В цій лотереї треба передбачити підсумок тринадцяти. спортивних матчів. Підсумок кожного матчу – перемога однієї з команд або нічия; рахунок не має значення.)

10. Алфавіт племені Мумбо-Юмбо складається з трьох літер А, Б та В. Слово – будь-яка послідовність, яка складається не більше як з 4 літер. Скільки слів в мові племені Мумбо-Юмбо?

Вказівка. Підрахуйте окремо кількість одно-, дво-, три- та чотирилітерних слів.

11. У футбольній команді (11 чоловік) треба, вибрати капіта­на та його заступника. Скількома способами це можна зробити?

12. Скількома способами можна зробити трикольоровий прапор з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є матерія шести різних кольорів?

13. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу та чорну  тури  так, щоб вони не били одна одну?

14. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білого  і чорного королів так, щоб вийшла допустима правилами гри позиції'

15. Скільки існує трицифрових чисел, в запису яких 1, 2, 3 зустрічаються рівно по одному разу.

16. Скількома способами можна викласти в ряд червону, чор­ну, синю та зелену кульки?

17. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ВЕКТОР"?

18. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ЛІНІЯ"?

19.    Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ПАРАБОЛА"?

20.  Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ОРТОГОНАЛЬНИЙ"?

21.  "МАТЕМАТИКА". Відповідь. 10!/(3!∙2!∙2!).

22.  В країні 20 міст, кожні два з яких з'єднані авіалінією. Скільки авіаліній в цій країні?

23.  Скільки діагоналей в опуклому "n"-кутнику?

24. Намисто – це кільце, на яке нанизано намистинки. На­мисто можна повертати, але не перевертати. Скільки різних намист можна зробити з 13 різнокольорових намистин

25. Намисто – це кільце, на яке нанизано намистинки. Припустимо тепер, що намисто можна й перевертати. Скільки тоді різних намист можна зробити з 13 різнокольорових на­мистин?

26.  Скільки існує 6-цифрових чисел, в напису  яких є при­наймні одна парна цифра?

27.  В абетці племені Бум-Бум шість літер. Словом є будь-яка, послідовність, з шести літер, в якій є принаймні дві однакові літери. Скільки слів в мові племені Бум-Бум?

28. В кіоску "Друк України" продаються 5 видів конвертів та 4 види марок. Скількома способами можна, купити конверт з маркою?

29. Скількома способами можна, вибрати голосну та приго­лосну літери зі слова "КРУЖОК"?

30. На дошці написано 7 іменників, 5 дієслів та 2 прикмет­ники. Для речення треба вибрати по одному слову кожної з цих частин мови. Скількома способами це можна зробити?

31.  У двох колекціонерів-початківців є по 20 марок і по 10 значків.    Чесним обміном називається обмін однієї марки на одну марку або одного значка на один значок.   Скількома способами колекціонери можуть здійснити чесний обмін?

32. Скільки існує 6-цифрових чисел, всі цифри яких мають однакову парність?

33. Треба відіслати 6 термінових листів. Скількома спосо­бами це можна зробити, якщо для передачі листів можна використати трьох кур'єрів і кожен лист можна дати будь-якому з кур'єрів?

34. Скількома способами з повної колоди (52 карти) можна вибрати 4 карти різних мастей і вартості?

35. На полиці стоять 5 книг. Скількома способами можна викласти в купку декілька з них (купка може складатися і з однієї книги)?

36. Скількома способами можна поставити 8 тур на шахову дошку так, щоб вони не били одна одну?     

37. На танцмайданчику зібралися N юнаків та N дівчат. Скількома способами вони можуть розбитися на пари для участі в черговому танці?     

38. Чемпіонат України по шахам проводиться в одне коло. Скільки грається партій, якщо участь беруть 18 шахматистів?

39. Скількома способами можна поставити на шахову дошку а) дві тури; б) двох королів; в) двох слонів; г)двох коней; д) двох ферзів так, щоб вони не били одне одного?

40. У мами два яблука, три груші та чотири апельсини. Кож­ного дня протягом дев'яти днів підряд вона дає синові один з фруктів, які залишилися. Скількома способами це може бути зроблено?

41. Скількома способами можна поселити 7 студентів в З кімнати: одномісну, двомісну та чотиримісну?     

42. Скількома способами можна розставити на першій гори­зонталі шахової дошки комплект білих фігур (король, ферзь, дві тури, дна слони та два коні)?

43. Скільки слів можна скласти з п'яти літер А і не більш як її трьох літер Б?

44. Скільки існує 10-цифрових чисел, в яких маємо принаймні ми однакові цифри?

45. Яких 7-цифрових чисел більше:  тих, в запису яких є  І ЧИ інших?

 46. У лабораторії науково-дослідного інституту працює декілька чоловік, причому кожний з них знає хоча б одну іноземну мову, 6 чоловік знають англійську, 6 – німецьку, 7 – французьку, 4 знають англійську і німець­ку, 3 – німецьку і французьку, 2 – французьку і англійсь­ку, один чоловік знає всі три мови. Скільки чоловік пра­цює в лабораторії? Скільки з них знає лише англійську мову? Скільки чоловік знає лише одну мову?

 47.  Староста одного класу дав такі відомості про учнів: «У класі навчаються 45 учнів, у тому числі 25 хлопчи­ків. 30 учнів вчаться на «добре» і «відмінно», у тому числі 16 хлопчиків. Спортом займаються 28 учнів, у тому числі 18 хлопчиків і 17 учнів, які вчаться на «добре» і «відмінно». 15 хлопчиків вчаться на «добре» та «відмінно» і займають­ся спортом. Покажіть, що в цих відомостях є помилка.

48. Скільки чисел серед першої сотні натураль­них чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5? 49. Скільки чисел серед першої тисячі натураль­них чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5, ні на 7?

49.  Скількома способами можна вибрати голос­ну і приголосну зі слова «паркет»?

50. а)Скількома способами можна вказати на ша­ховій дошці два квадрати – білий та чорний?

     б) Розв'яжіть цю задачу, якщо немає обмежень на колір квадрата.      в) Розв'яжіть її, якщо потрібно вибрати два білих квадрати.

51. Скількома способами можна вибрати на шаховій дошці білий та чорний квадрати, що не лежать на одній горизонталі або на одній вертикалі?

52. З 3 примірників підручника алгебри, 7 при­мірників підручника геометрії та 6 примірників підручни­ка фізики потрібно вибрати комплект, що містить по одно­му підручнику з кожного предмету. Скількома способами це можна зробити?

53. У кошику 12 яблук та 10 апельсинів. Іван­ко вибирає або яблуко, або апельсин, після чого Надійка вибирає з фруктів, що залишилися, і яблуко, і апельсин.  Скільки можливостей таких виборів?  За якого вибору Іван­ка Надійка має більше можливостей вибору?

54. Скількома способами можна обтягнути 6 стільців тканиною, якщо є тканина шести різних коль­орів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

55 . Скількома способами можуть розташувати­ся у турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо відо­мо, що ніякі дві команди не набрали порівну очок?

56. Скільки чотиризначних чисел можна утво­рити з цифр 0, 1,2, 3, не повторюючи їх?

 57. Скількома способами можна скласти три­колірний смугастий прапор, якщо є тканина п'яти різних кольорів? Розв'яжіть ту ж саму задачу за умови, що одна смуга повинна бути червоною.

58. Є 8 токарів.  Скількома способами можна поручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей по одному виду на кожного.

59.  До профкому обрано 9 чоловік. З них треба обрати голову, його заступника, секретаря та культорга. кількома способами це можна зробити?

Відповідь: n =9∙8∙7∙6 =  3024.

60. Скількома способами можна вкинути 5 лист­ів в 11 поштових скриньок, якщо до кожної скриньки вкинути не більше одного листа?

61. На зборах мають виступити 5 чоловік: А, Б, В, Г, Д. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо: Б не повинен виступати перед А;  якщо Б мусить виступити відразу за А?

62. Скільки різних натуральних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожне число містить кожну з даних цифр не більше одного разу?